primitive pythagoreische Tripe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mo 29.08.2011 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
ich habe irgendwo gelesen, dass es eine ungerade Zahl gibt, kleiner als 105, die in mehr als 2 primitiven pythagoreischen Tripeln vorkommt. Ich habe gesucht, doch keine kleinere gefunden. Beispiel die Zahl 105
{105,88,137}
{105,208,233}
{105,608,617}
{105,5512,5513}
Kann mir jemand helfen?
Danke im Voraus, Ferma
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Also eine ungerade die in drei Stück vorkommt wäre die 15:
{15,8,17}
{15,20,25}
{15,36,39}
Eine weitere die 21:
{21,20,29}
{21,28,35}
{21,72,75}
und die 39:
{15,36,39}
{39, 52, 65}
{39, 80, 89}
Ich weiß jetzt nicht genau ob das "primitive" sind (da ich nicht genau weiß welche unter primitiv fallen und welche nicht^^), also müsstest du das mal selbst überprüfen, vielleicht passt das ja. ;)
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(16,63,65)
(33,56,65)
(65,72,97)
@ Schadowmaster
Deine Tripel sind nicht alle primitiv, d.h. aus teilerfremden ganzen Zahlen bestehend.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 29.08.2011 | | Autor: | Ferma |
Meine Zahl bezieht sich auf die KATHETEN. Also Die ersten beiden Zahlen .
Bei primitiven Tripeln ist eine Kathete gerade, die andere ungerade. Beispiel:
3,4,5. Das Tripel 39,52,65 ist nicht primitiv, da alle Zahlen den Teiler 13 haben.
Gruß, Ferma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Mo 29.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin.
Mit den Formeln [mm] $(u^2 [/mm] - [mm] v^2, [/mm] 2 u v, [mm] u^2 [/mm] + [mm] v^2)$ [/mm] mit $0 < v < u$ und $u + v$ ungerade laesst sich jedes primitive phytagoreische Tripel darstellen.
Wir unterscheiden also zwei Faelle:
* Die Zahl $a$, die du suchst, ist gerade. Dann muss sie von der Form $a = 2 u v$ sein, und jede Moeglichkeit, sie als $2 u v$ zu schreiben (mit $u, v$ natuerlichen Zahlen mit $v < u$ und $u + v$ ungerade) liefert ein Tripel.
* Die Zahl $a$, die du suchst, ist ungerade. Dann muss sie von der Form $a = [mm] u^2 [/mm] - [mm] v^2$ [/mm] sein (mit $0 < v < u$ und $u + v$ ungerade). Ist $u = v + x$, so ist [mm] $u^2 [/mm] - [mm] v^2 [/mm] = (v + [mm] x)^2 [/mm] - [mm] v^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2 v x$. Da $v [mm] \le \frac{1}{2} [/mm] a$ folgt, bleiben also nur endlich viele Wahlen fuer $v$ und damit auch fuer $u$ (da $u = [mm] \sqrt{a + v^2}$ [/mm] ist).
Mit diesen beiden Beobachtungen kannst du ein kleines Programm schreiben, was alle Zahlen $< 105$ einfach durchprobiert.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:02 Di 30.08.2011 | | Autor: | Ferma |
Guten Morgen,
schön dass du dabei bist, felixf! Ich habe alle UNGERADEN Zahlen von 7 bis 105 durchprobiert und keine gefunden, welche in mehr als 2 primitiven Tripeln vorkommt. Du hast bestimmt das kleine Programm erstellt. Gibt es eine solche Zahl? In Frage kommen die beiden Katheten, nicht die Hypotenuse(also die dritte Zahl im Tripel) Arndt Brünner hat auf seiner Seite einen online Rechner, der alle (nicht nur primitive Tripel) berechnet. Da habe ich das auch probiert. Dabei habe ich festgestellt, dass Primzahlen nur in EINEM Tripel vorkommen. Gibt es dafür eine Erklärung?
LG Ferma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Di 30.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Ferma,
> schön dass du dabei bist, felixf! Ich habe alle UNGERADEN
> Zahlen von 7 bis 105 durchprobiert und keine gefunden,
> welche in mehr als 2 primitiven Tripeln vorkommt.
ich schon 
> Du hast
> bestimmt das kleine Programm erstellt.
EDIT: In meinem Programm fehlte noch etwas (die Bedingung, dass $u$ und $v$ teilerfremd sind). Jetzt findet es keine Tripel mit Eintraegen $< 125$.
Wer hat denn behauptet, dass es solche gibt?
(Ich habe den ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Quellcode mal angehaengt.)
> Gibt es eine solche
> Zahl? In Frage kommen die beiden Katheten, nicht die
> Hypotenuse(also die dritte Zahl im Tripel) Arndt Brünner
> hat auf seiner Seite einen online Rechner, der alle (nicht
> nur primitive Tripel) berechnet. Da habe ich das auch
> probiert. Dabei habe ich festgestellt, dass Primzahlen nur
> in EINEM Tripel vorkommen. Gibt es dafür eine Erklärung?
Nun, Primzahlen sind ungerade (ausser 2), also fallen sie in den ersten Fall. Die Anzahl der Tripel ist also durch die Anzahl der teilerfremden Paare $(u, v)$ gegeben mit $p = [mm] u^2 [/mm] - [mm] v^2$. [/mm] Man muesste also irgendwie begruenden, dass es immer nur ein Paar dazu gibt. Ich werde mal etwas drueber nachdenken wenn ich Zeit habe...
LG Felix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: cpp) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Fr 09.09.2011 | | Autor: | hippias |
> Die Anzahl der Tripel ist also durch
> die Anzahl der teilerfremden Paare [mm](u, v)[/mm] gegeben mit [mm]p = u^2 - v^2[/mm].
> Man muesste also irgendwie begruenden, dass es immer nur
> ein Paar dazu gibt.
Nach Voraussetzung gilt $0<v<u$ und $u+v$ ungerade. Da $p= [mm] u^{2}- v^{2}= [/mm] (u+v)(u-v)$ und $p$ prim, folgt $u= v+1$, also $p= 2u+1$. Dadurch ist $u$ (und folglich $v$) eindeutig bestimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:06 Sa 10.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Die Anzahl der Tripel ist also durch
> > die Anzahl der teilerfremden Paare [mm](u, v)[/mm] gegeben mit [mm]p = u^2 - v^2[/mm].
> > Man muesste also irgendwie begruenden, dass es immer nur
> > ein Paar dazu gibt.
>
> Nach Voraussetzung gilt [mm]0
> und [mm]p[/mm] prim, folgt [mm]u= v+1[/mm], also [mm]p= 2u+1[/mm]. Dadurch ist [mm]u[/mm] (und
> folglich [mm]v[/mm]) eindeutig bestimmt.
Da hast du Recht! Da hatte ich nicht zuende gedacht... Vielleicht sollte ich mich auf die Uhrzeit berufen, es war da schliesslich noch mitten in der Nacht
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:20 Sa 03.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Fr 09.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Nimm 3,4,5 und 5 12,13.
und welches ist das dritte Tripel? :)
LG Felix
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