punktw./gleichm.Konvergenz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a.)Untersuchen Sie die Funkionenfolge [mm] (f_{n})_{n\in\IN} [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
[mm] f_{n}:[0,1]\to\IR, f_{n}(x):=\bruch{x^{2}}{x^{2}+(1-nx)^2}.
[/mm]
b.) Sei [mm] f_{n}(x):=\wurzel{x^2+\bruch{1}{n^2}},x\in \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] (f_{n})_{n\in\IN} [/mm] gleichmäßig auf [mm] \IR [/mm] konvergiert und untersuchen Sie die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion. |
Folgendes weiß ich ja:
(1 ) [mm] f_{n} [/mm] konvergiert punktweise gegen f, wenn
für jedes $ x [mm] \in [/mm] X$ stets $ f (x) = [mm] \lim_{n \to \infty} f_n [/mm] (x)$ gilt.
(2) [mm] f_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen f, wenn
es zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0$ ein (von $ x$ unabhängiges) $ n [mm] (\varepsilon) \in \mathbb{N}$ [/mm] gibt mit $ [mm] \vert [/mm] f (x) - [mm] f_n [/mm] (x) [mm] \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $ n [mm] \geq [/mm] n [mm] (\varepsilon)$ [/mm] und alle $ x$ .
Nun das Hauptproblem: Das Wissen anwenden...oh oh.Das Thema ist wieder ganz neu und wir haben so gut wie kaum Aufgaben dazu gelöst. Bitte helft mir weiter.
zu a.) Muss ich wenn ich auf punktweise Konvergenz testen will nun den Grenzwert von [mm] f_{n} [/mm] bestimmen? Und wie sieht f(x) aus,...genau wie [mm] f_{n} [/mm] eben nur ohne dem n??? Ist bestimmt ne blöde Frage von mir.
Lieben Gruß
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> a.)Untersuchen Sie die Funkionenfolge [mm](f_{n})_{n\in\IN}[/mm] auf
> punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
>
> [mm]f_{n}:[0,1]\to\IR, f_{n}(x):=\bruch{x^{2}}{x^{2}+(1-nx)^2}.[/mm]
>
> b.) Sei [mm]f_{n}(x):=\wurzel{x^2+\bruch{1}{n^2}},x\in \IR.[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm](f_{n})_{n\in\IN}[/mm] gleichmäßig auf [mm]\IR[/mm]
> zu a.) Muss ich wenn ich auf punktweise Konvergenz testen
> will nun den Grenzwert von [mm]f_{n}[/mm] bestimmen?
Hallo,
Du mußt nachschauen, ob für jedes x aus dem Definitionsbereich die Folge [mm] f_n(x) [/mm] konvergiert, und wenn ja, dann wogegen.
Hierfür untersuchst Du
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] für jedes x des Definitionsbereiches.
Bei Deiner ersten Aufgabe kannst Du sehen, daß es ein Unterschied ist, ob x=0 oder [mm] x\not=0.
[/mm]
Es ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(0) [/mm] =...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] =... für [mm] x\not=0.
[/mm]
Mal angenommen (!) Du hättest
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(0) [/mm] = 19
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) =x^2 [/mm] + 5, dann wäre
f mit
[mm] f(x):=\begin{cases} 19, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \\ x^2 + 5, & \mbox{für } x\in ]0,1] \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
die grenzfunktion.
Gruß v. Angela
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ok,ich versuchs mal für punktweise Konvergenz:
[mm] x\in[0,1]
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=...
[/mm]
x=0 [mm] f_{n}(x)=0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
[mm] f_{n}(0)\to [/mm] 0
x>0 [mm] f_{n}(x)=\bruch{x^2}{x^2+(1-nx)^2}
[/mm]
[mm] f_{n}(x)\to [/mm] 0 wenn [mm] n\to +\infty
[/mm]
[mm] \epsilon>0 [/mm] ; [mm] |\bruch{x^2}{x^2+(1-nx)^2}-0|= |\bruch{x^2}{x^2+(1-nx)^2}|
[/mm]
[mm] 0\le \bruch{x^2}{x^2+(1-nx)^2}=\bruch{x^2}{x^2+1-2nx+nx^2}=\bruch{x^2}{x^2(1+\bruch{1}{x^2}-\bruch{2nx}{x^2}+n)}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}-\bruch{2nx}{x^2}+n}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] und [mm] \bruch{2nx}{x^2} [/mm] gehen gegen 0
[mm] \bruch{1}{1+n} [/mm] wenn [mm] n\to +\infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=0 [/mm] und daraus folgt, dass f(x)=0
Hier sind bestimmt nen paar Fehler bei, bitte greift mir unter die Arme.
Liebe Grüße
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> ok,ich versuchs mal für punktweise Konvergenz:
>
> [mm]x\in[0,1][/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=...[/mm]
>
> x=0 [mm]f_{n}(x)=0[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> [mm]f_{n}(0)\to[/mm] 0
Hallo,
genau.
> x>0 [mm]f_{n}(x)=\bruch{x^2}{x^2+(1-nx)^2}[/mm]
>
> [mm]f_{n}(x)\to[/mm] 0 wenn [mm]n\to +\infty[/mm]
Auch dies ist richtig.
Dein Beweis ist verkehrt. Du bringst da ein [mm] \varepsilon [/mm] ins Spiel, ohne ein passendes [mm] n_o [/mm] anzugeben, also ist es kein [mm] \varepsilon-Beweis.
[/mm]
Dann schreibst Du unten:
> [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] und [mm]\bruch{2nx}{x^2}[/mm] gehen gegen 0.
Das stimmt nicht. Wenn Du punktweise Konvergenz untersuchst, ist Dein x konstant. Du untersuchst die Konvergenz an einer bestimmten Stelle. Bei der pw Konvergenz ist x wie eine feste Zahl, und folglich ist [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] konstant.
Ich würde gar keinen [mm] \varepsilon-Beweis [/mm] machen, sondern:
Sei [mm] x\in [/mm] ]0,1]
Es ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{x^2}{x^2+(1-nx)^2}=0, [/mm] denn der Nenner geht gegen [mm] \infty [/mm] für [mm] n\to \infty.
[/mm]
Da [mm] f_n(x)\to [/mm] 0 für alle [mm] x\in [/mm] [0,1], ist f(x):=0 die Grenzfunktion.
Gruß v. Angela
P.S.:
Falls Du Dich wunderst:
ich habe mir etwas dabei gedacht, den [mm] \varepsilon-Beweis [/mm] an dieser Stelle nicht aufzurollen, weil ich befürchtete, daß dabei vor lauter Umformen und Abschätzen der Blick fürs wesentliche verlorengeht.
Natürlich könnten wir das nachholen.
Wenn Du so einen Beweis machen willst, führ das erstmal mit einem konkreten x durch, etwa mit x=3/4.
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danke für deine Antwort. Wie kann ich jetzt nur nach der gleichmäßigen Konv. prüfen?So?:
[mm] |f_{n}(x)-0|=\bruch{x^2}{x^2+(1-nx)^2}\le\epsilon
[/mm]
und da [mm] f_{n}(x) [/mm] gegen 0 geht stimmt die Ungleichung,oder?
Lieben Gruß
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> danke für deine Antwort. Wie kann ich jetzt nur nach der
> gleichmäßigen Konv. prüfen?So?:
>
> [mm]|f_{n}(x)-0|=\bruch{x^2}{x^2+(1-nx)^2}\le\epsilon[/mm]
>
> und da [mm]f_{n}(x)[/mm] gegen 0 geht stimmt die Ungleichung,oder?
Hallo,
nein, so geht das nicht.
Du mußt zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] n_0 [/mm] angeben, so daß für alle (!) x und [mm] n>n_0 [/mm]
[mm] |f_{n}(x)-0|=\bruch{x^2}{x^2+(1-nx)^2}< \epsilon [/mm] richtig ist.
Bzw. wenn die Funktionenfolge nicht glm Konvergiert , nimmst Du ein bestimmtes [mm] \varepsilon, [/mm] etwa [mm] \varepsilon [/mm] :=0.1234 und führst die Annahme der glm Konvergenz zum Widerspruch.
Ich meine, daß Du zweierlei zun mußt, wenn Du auf einen grünen Zweig kommen willst:
das erste ist unabhängig von dieser Aufgabe: Du solltest Dir eine Fülle von vorgerechneten [mm] \epsilon [/mm] - Beweisen ansehen und nachrechnen.
Zweitens solltest Du Dir zum Verständnis der pw und glm Konvergenz mal die Funktionenfolge plotten, etwa für n=5, n=10, n=15.
Nimm Dir nun eine feste Stelle, etwa x=3 und schau, wie die Funktionswerte an die Null herangehen, schau also [mm] f_5(3), f_{10}(3) [/mm] und [mm] f_{15}(3) [/mm] an. Für andere Stellen ebenso.
Danach schau "großräumig" auf die Funktionenschar. Rücken die [mm] f_n [/mm] "gleichmäßig" an die Grenzfunktion, oder hast Du das "Gefühl", daß es Ausreißer, problematische Stellen gibt.
Schaffst Du es, daß Du einen beliebigen [mm] \varepsilon- [/mm] Schlauch um die Grenzfunktion legen kannst, so daß ab einem bestimmten [mm] n_0 [/mm] alle [mm] f_n [/mm] innerhalb des Schlauches verlaufen?
Gruß v. Angela
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als ich [mm] f_{5}(3), f_{10}(3), f_{15}(3) [/mm] mittels Wertetabelle mir veranschaulicht habe, fiel mir auf, dass je größer dieses n ist, man schneller an den Grenzwert 0 gelangt.
[mm] f_{5}(3)=0,044
[/mm]
[mm] f_{10}(3)=0,010
[/mm]
[mm] f_{15}(3)=0,0046
[/mm]
Wenn ich die Funktionenschar betrachte, scheint es mir so, als ob die $ [mm] f_n [/mm] $ "gleichmäßig" an die Grenzfunktion heranrücken. Problematische Stellen gebe es meiner Ansicht nach nicht.
Und wegen des Epsilonschlauches...wir hatten diesbezüglich mal ein Bsp. gehabt, welches ich leider vergebens versuche auf diese Aufgabe anzuwenden,vllt kannst du mir da helfen:
sei [mm] \epsilon>0 [/mm] gegeben
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|=|\bruch{1}{n}sin(nx)-0|= \bruch{1}{n}|sin(nx)|\le \bruch{1}{n}<\epsilon [/mm] ist erfüllt [mm] n>\bruch{1}{\epsilon}=:N_{0}(\epsilon)
[/mm]
ich denke so ungefähr willst du das auch haben, ich habe nur keine Ahnung wie ich die hier in der Aufgabe gegebene Funktion so wie in diesem Beispiel umstellen kann :'-(
Lg
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> als ich [mm]f_{5}(3), f_{10}(3), f_{15}(3)[/mm] mittels Wertetabelle
> mir veranschaulicht habe, fiel mir auf, dass je größer
> dieses n ist, man schneller an den Grenzwert 0 gelangt.
>
> [mm]f_{5}(3)=0,044[/mm]
> [mm]f_{10}(3)=0,010[/mm]
> [mm]f_{15}(3)=0,0046[/mm]
Hallo,
und wenn Du Dir nun die Stellen 0.1 und 17 anschaust, durfte sich die Konvergenz ähnlich gestalten.
Das ist punktweise Konvergenz. Man betrachtest die Konvergenz an festen Punkten.
Für die glm. Konvergenz muß man die komplette Funktionenschar ins Visier nehmen.
>
> Wenn ich die Funktionenschar betrachte, scheint es mir so,
> als ob die [mm]f_n[/mm] "gleichmäßig" an die Grenzfunktion
> heranrücken. Problematische Stellen gebe es meiner Ansicht
> nach nicht.
Siehst Du nicht den Peak, den jede Funktion hat? Solche Stellen müßte man genau ins Visier nehmen, und prüfen, ob sie einem die glm Konvergenz verderben können.
Sind diese Peaks so, daß sie immer kleiner werden, und, wähle ich nur den Schwellenwert [mm] n_0 [/mm] groß genug, in beliebige Schläuche passen? Wenn diese Peaks brav immer kleiner werden, könnte das klappen.
Dem ist aber nicht so. Schaust Du die Peaks (mit passendem Maßstab) genau an, siehst, Du, daß sie immer im Funktionswert 1 gipfeln. Das bedeutet, daß sie dünne Schläche um die Nullfunktion durchstoßen!
Diese Erkenntnisse habe ich jetzt beim Spielen mit den Graphen gefunden. Das ist nicht beweiskräftig, aber man kommt auf Ideen, und bekommt ein Gefühl für die Funktionen.
Du kannst für diese Funktion keine glm Konvergenz zeigen, sondern mußt sie widerlegen.
Zeige hierzu, daß jede Funktion [mm] f_n [/mm] den Funktionswert 1 annimmt. Betrachte hierfür die Stelle x=1/n.
Gruß v. Angela
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