punktweise Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Kato |
| Aufgabe | Sei [mm] \{ f_n \} [/mm] eine Folge für die Funktion [mm]f_n\,:\,\IR \to \IR [/mm]
[mm] f_n (x) :=\left\{\begin{matrix}
0 & |x| \ge \frac{1}{n} \\
nx+1 & -\frac{1}{n} < x < 0 \\
-nx+1 & 0 \le x < \frac{1}{n}
\end{matrix}\right. [/mm]
Gegen welche Funktion konvergiert (punktweise) diese Folge? |
Hallo,
ich bin auf folgende Antwort gekommen:
[mm] f(x) :=\left\{\begin{matrix}
0 & |x| > 0 \\
? \\
1 & x = 0
\end{matrix}\right. [/mm]
Ich weiß jetzt nicht, was ich mit [mm] nx+1; \ \left( -\frac{1}{n} < x < 0 \right) [/mm] machen soll. Wenn ich da den Limes betrachte geht doch: [mm] x \to 0 \ \text{für} \ n \to \infty [/mm]. Dabei kann x aber 0 nie erreichen. Fällt das dann bei meiner Funktion [mm] f(x) [/mm] ganz raus? Also ist das '?' leer?
Liebe Grüße
Kato
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Do 25.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn [mm] x\ne [/mm] 0 ist, dann gibt es ein [mm] N\in \IN [/mm] s.d. für alle n>N gilt [mm] \br{1}{n}<|x|
[/mm]
D.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\ne 0 \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
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