quadratische Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 20.07.2010 | | Autor: | s-jojo |
| Aufgabe | | [mm] 2x^2+5x+2 [/mm] |
Hallo zusammen! :)
Ich hatte quadratische Gleichungen schon mal, muss sie jetzt aber wieder auffrischen und hab ein paar Probleme:
1. Die obere Gleichung, also [mm] 2x^2+5x+2, [/mm] kann ich mit 3 verschiedenen Wegen lösen. Zuerst einmal die mit der pq-Formel.
[mm] 2x^2+5x+2
[/mm]
= [mm] 2(x^2+2,5x+1)
[/mm]
x1+x2=-2,5
x1*x2=1
x1=-0,5, x2=-2
[mm] 2x^2+5x+2=2*(x+0,5)(x+2)=(2x+1)(x+2)
[/mm]
Diese Gleichung habe ich soweit richtig gelöst, oder?
2. Ich kann die Lösung aber auch mit der Formel [mm] \bruch{-b\pm\wurzel{b^2-4ac}}{2a} [/mm] herausbekommen, oder?
Mein Problem ist nur, dass ich irgendwie falsche Ergebnise bekomme. Wenn ich alles eingesetzt habe, kommt letztendlich x1=-0,5 und x2=-2 heraus, aber woher bekomme ich jetzt die 2*, die ich bei der pq-Formel einfach so "weiterübernehmen" konnte? Muss man bei dieser Formel vorher etwas ausklammern oder so?
3. Meine letzte Frage ist: Welcher Unterschied besteht zwischen der pq-Formel und der folgenden Art, die Gleichung zu lösen?
[mm] 2x^2+5x+2
[/mm]
ac=4
1+4=5
[mm] 2x^2+5x+2=2x^2+x+4x+2=x(2x+1)+2(2x+1)=(x+2)(2x+1)
[/mm]
Allgemein: Welche von diesen drei Lösungswegen wird am häufigsten genutzt und ist am "besten"?
Ich hoffe, ihr versteht all meine Fragen :D
Lg s-jojo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Di 20.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]2x^2+5x+2[/mm]
> Hallo zusammen! :)
>
> Ich hatte quadratische Gleichungen schon mal, muss sie
> jetzt aber wieder auffrischen und hab ein paar Probleme:
oben steht keine Gleichung, sondern ein Term. Entweder geht's Dir um "geeignete" Termumformungen, oder Du meinst
[mm] $$2x^2+5x+2=0\,,$$
[/mm]
welche man natürlich mit den angesprochenen "geeigneten" Termumformungen umschreibt, so dass die Lösung offensichtlich(er) wird.
> 1. Die obere Gleichung, also [mm]2x^2+5x+2,[/mm]
Wie gesagt: Das ist keine Gleichung, also gibt's da auch keine Lösung. Setze den Term [mm] $=0\,,$ [/mm] dann hast Du eine Gleichung.
> kann ich mit 3
> verschiedenen Wegen lösen.
Mit den Verbesserungen meinerseits:
Ja, vgl. etwa ![[]](/images/popup.gif) Wiki, quadr. Gleichungen.
> Zuerst einmal die mit der
> pq-Formel.
>
> [mm]2x^2+5x+2[/mm]
> = [mm]2(x^2+2,5x+1)[/mm]
>
> x1+x2=-2,5
> x1*x2=1
>
> x1=-0,5, x2=-2
>
> [mm]2x^2+5x+2=2*(x+0,5)(x+2)=(2x+1)(x+2)[/mm]
>
> Diese Gleichung habe ich soweit richtig gelöst, oder?
Du hast den Term richtig mithilfe einer entsprechenden Gleichung und dem Satz von Vieta umgeschrieben, wenn Du das meinst.
Aber das ist nicht die pq-Formel, oder wenn, dann versteckt. Denn wie gesagt:
Du faktorisierst hier bzw. benutzt den Satz von Vieta, welcher natürlich leicht aus der pq-Formel folgt.
> 2. Ich kann die Lösung aber auch mit der Formel
> [mm]\bruch{-b\pm\wurzel{b^2-4ac}}{2a}[/mm] herausbekommen, oder?
>
> Mein Problem ist nur, dass ich irgendwie falsche Ergebnise
> bekomme. Wenn ich alles eingesetzt habe, kommt letztendlich
> x1=-0,5 und x2=-2 heraus, aber woher bekomme ich jetzt die
> 2*, die ich bei der pq-Formel einfach so
> "weiterübernehmen" konnte? Muss man bei dieser Formel
> vorher etwas ausklammern oder so?
Hier ist es halt entscheidend, dass Du Dir klar machst, was der Unterschied zwischen "Löse [mm] $ax^2+bx+c=0$" [/mm] und "Forme den Term [mm] $ax^2+bx+c$ [/mm] in ein Produkt so um, dass man die Lösungen von [mm] $ax^2+bx+c=0$ [/mm] ablesen kann" klarmachst.
Wenn Du (für $a [mm] \not=0$) [/mm]
[mm] $$\left(x-\bruch{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}\right)*\left(x-\bruch{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}\right)$$
[/mm]
ausmultiplizierst, so gelangst Du zu
[mm] $$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\,.$$
[/mm]
Für $a [mm] \not=0$ [/mm] sind aber die Gleichungen
[mm] $$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$
[/mm]
und
[mm] $$ax^2+bx+c=0$$
[/mm]
äquivalent.
Nun sind aber [mm] $x_{1,2}=\bruch{-b\pm\wurzel{b^2-4ac}}{2a}$ [/mm] Lösungen von
[mm] $$x^2+\frac{b}{a}*x+\frac{c}{a}=0$$
[/mm]
so, dass man
[mm] $$x^2+\frac{b}{a}*x+\frac{c}{a}=(x-x_1)*(x-x_2)$$
[/mm]
schreiben kann. (Das folgt sofort aus der pq-Formel.)
D.h. es gilt
[mm] $$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a*(x-x_1)*(x-x_2)=\left(x-\bruch{-b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a}\right)*\left(x-\bruch{-b+\wurzel{b^2-4ac}}{2a}\right)\,.$$
[/mm]
> 3. Meine letzte Frage ist: Welcher Unterschied besteht
> zwischen der pq-Formel und der folgenden Art, die Gleichung
> zu lösen?
>
> [mm]2x^2+5x+2[/mm]
>
> ac=4
> 1+4=5
>
> [mm]2x^2+5x+2=2x^2+x+4x+2=x(2x+1)+2(2x+1)=(x+2)(2x+1)[/mm]
Hier wird faktorisiert (ähnlich wie beim Satz von Vieta). Sowas ist immer günstig, hilft aber nur dann, wenn man eine Faktorisierung sieht. Z.B. den Term
[mm] $$2x^2+22x-18$$
[/mm]
kann man (mit der Mitternachts- oder pq-Formel, wenn man linkerhand 2 vorklammert) natürlich auch in die Form
[mm] $$2(x-x_1)*(x-x_2)$$
[/mm]
bringen, nur sind diese [mm] $x_{1,2}$ [/mm] nicht so wirklich einfach zu erraten.
> Allgemein: Welche von diesen drei Lösungswegen wird am
> häufigsten genutzt und ist am "besten"?
Meines Erachtens reicht vollkommen die pq-Formel:
[mm] $$x^2+px+q=0$$
[/mm]
kann damit (unter passenden Voraussetzungen, d.h. [mm] $p^2/4\;-q \ge [/mm] 0$) als
[mm] $$\left(x-\left[-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right]\right)*\left(x+\left[-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right]\right)=0$$
[/mm]
geschrieben werden.
Und für $a [mm] \not=0$ [/mm] kann damit
[mm] $$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$$
[/mm]
genauso umgeschrieben werden, wenn man [mm] $p:=\frac{b}{a}$ [/mm] und [mm] $q:=\frac{c}{a}$ [/mm] setzt.
Der Satz von Vieta oder die Faktorisierung ergibt sich auch aus der pq-Formel.
Beste Grüße,
Marcel
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