rang(AB)<=min{rang(A),rang(B)} < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] $A\in K^{l\times m}$ [/mm] und [mm] $B^{m\times n}$ [/mm] Matrizen. Beweisen Sie, dass
[mm] $$\mathrm{rang}(AB)\le \mathrm{min}\{\mathrm{rang}(A),\mathrm{rang}(B)\}$$
[/mm]
ist. |
Hallo,
ich weiß, dass ihr schon x Leuten bei dieser Aufgabe geholfen habt, aber ich komme einfach nicht weiter.
Ich weiß, dass [mm] $\mathrm{rang}(AB)=\mathrm{min}(l,n)$ [/mm] gilt. Dieselben Fakten kenne ich über $A$ und $B$.
Ich weiß weiter, dass ich mit den induzierten Abbildungen von $A$, $B$ und $AB$ arbeiten muss. Das haben wir aber noch kaum gemacht.
[mm] $\mathrm{Bild } (\psi \circ \varphi) [/mm] = [mm] \mathrm{Kern } (\varphi \circ \psi)$
[/mm]
[mm] $\mathrm{Bild } (\psi \circ \varphi) \subseteq \mathrm{Bild } (\psi)$
[/mm]
[mm] $\mathrm{Bild } (\psi \circ \varphi) \subseteq \mathrm{Bild } (\varphi)$
[/mm]
[mm] $\mathrm{Kern } (\psi)\subseteq \mathrm{Kern } (\psi \circ \varphi)$ [/mm]
[mm] $\mathrm{Kern } (\psi \circ \varphi) \subseteq \mathrm{Kern }(\varphi)$
[/mm]
weiß ich auch noch. Aber wie arbeite ich damit bzgl. der Abbildungen der Matrizen?
Grüße, Stefan.
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Hallo,
ich würde es mit einer Argumentation über eine Basis aus Eigenvektoren machen, oder dürft ihr nur Sätze über lineare Abbildungen verwenden?
lg
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> Hallo,
>
> ich würde es mit einer Argumentation über eine Basis aus
> Eigenvektoren machen
Hallo,
da bin ich aber etws skeptisch - insbesondere für den Fall, daß es keine solche Basis gibt...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Do 20.05.2010 | | Autor: | Niladhoc |
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> Es seien [mm]A\in K^{l\times m}[/mm] und [mm]B^{m\times n}[/mm] Matrizen.
> Beweisen Sie, dass
>
> [mm]\mathrm{rang}(AB)\le \mathrm{min}\{\mathrm{rang}(A),\mathrm{rang}(B)\}[/mm]
>
> ist.
> Ich weiß, dass [mm]\mathrm{rang}(AB)=\mathrm{min}(l,n)[/mm] gilt.
Hallo,
nein, das gilt i.a. nicht, sondern es gilt [mm] \mathrm{rang}(AB)\le \mathrm{min}(l,n)
[/mm]
> Dieselben Fakten kenne ich über [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm].
>
> Ich weiß weiter, dass ich mit den induzierten Abbildungen
> von [mm]A[/mm], [mm]B[/mm] und [mm]AB[/mm] arbeiten muss. Das haben wir aber noch kaum
> gemacht.
Leider schreibst Du gar nicht, was [mm] \psi [/mm] und [mm] \varphi [/mm] unten sein sollen.
>
> [mm]\mathrm{Bild } (\psi \circ \varphi) = \mathrm{Kern } (\varphi \circ \psi)[/mm]
Das dürfte i.a. nicht stimmen - oftmals wird eine der beiden Verkettungen nichtmal definiert sein.
> [mm]\mathrm{Bild } (\psi \circ \varphi) \subseteq \mathrm{Bild } (\psi)[/mm]
stimmt
>
> [mm]\mathrm{Bild } (\psi \circ \varphi) \subseteq \mathrm{Bild } (\varphi)[/mm]
Das stimmt i.a. nicht.
>
> [mm]\mathrm{Kern } (\psi)\subseteq \mathrm{Kern } (\psi \circ \varphi)[/mm]
Eher nicht...
>
> [mm]\mathrm{Kern } (\psi \circ \varphi) \subseteq \mathrm{Kern }(\varphi)[/mm]
Auch nicht.
> weiß ich auch noch.
Hm... Wo Du das wohl aufgeschnappt hast... Vielleicht waren da irgendwelche speziellen Voaussetzungen...
So jetzt fangen mir mal an.
[mm] f_B: K^n\to K^m,
[/mm]
[mm] f_A: K^m\to K^l
[/mm]
[mm] f_A_B: K^n\to K^l.
[/mm]
Ich denke, rang(C)=dim [mm] Bild(f_C) [/mm] ist klar.
Zeigen sollst Du also, daß dim [mm] Bild(f_A_B)\le [/mm] min [mm] \{dim Bild(f_A), dim Bild(f_B)\} [/mm] ist.
Zeige hierfür
i) dim [mm] Bild(f_A_B)\le [/mm] dim [mm] Bild(f_A)
[/mm]
ii) dim [mm] Bild(f_A_B)\le [/mm] dim [mm] Bild(f_B).
[/mm]
zu i)
Zeige, daß [mm] Bild(f_A_B) \subseteq Bild(f_A)
[/mm]
zu ii)
Zeige, daß [mm] Kern(f_B)\subseteq Kern(f_A_B),
[/mm]
und verwende dim [mm] Bild(f_A_B)= [/mm] n - [mm] Kern(f_A_B)
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo,
entschuldigt, dass ich mich jetzt erst melde, die Aussagen über [mm] $\phi$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] hab ich zu der späten Stunde aus einem Multiplechoicetest kopiert, den ich machen musste, da waren die meisten Aussagen von überhaupt nicht richtig. Sorry dafür!
Vielen Dank für die Hilfe!
Stefan.
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