rationale K-Varietät < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] $H\subset \mathbb{A}^n$ [/mm] mit [mm] $H=\mathcal{V}\left(f_n-f_{n-1}\right)$, $f_n-f_{n-1}\in \mathbb{K}[X_1,\ldots,X_n]$ [/mm] irreduzibel, wobei [mm] $f_n$ [/mm] bzw. [mm] $f_{n-1}$ [/mm] homogen vom Grad $n$ bzw. $n-1$ sind. Dann ist $H$ eine rationale [mm] $\mathbb{K}$-Varietät [/mm] |
Dass $H$ irreduzibel ist, sei dahingestellt. Es ist dann [mm] $\mathcal{R}(H)$ [/mm] ein Körper, der Körper der rationalen Funktionen. Insbesondere [mm] $\mathcal{R}(H)=\mathrm{Quot}\left(k[H]\right)$, [/mm] wobei $k[H]$ integer ist, also [mm] $k[H]=k[x_1,\ldots,x_n]$, $x_1=X_1+\left(f_n-f_{n-1}\right)$. [/mm] Zu zeigen: [mm] $\mathcal{R}(H)/\mathbb{K}$ [/mm] ist rein transzendent. Für $n=2$ hat man z.B [mm] $\mathcal{R}(H)\cong \mathcal{R}\left(\mathbb{A}^1\right)\cong [/mm] k(X)$. Wie geht das aus der Darstellung der [mm] $x_1,\ldots,x_n$ [/mm] hervor (wenn überhaupt), oder übersehe ich was? Eine andere Möglichkeit ist es eine Prametrisierung zu finden, aber wohl kaum praktikabel, außerdem impliziert das nur die Pseudorationalität.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Sa 11.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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