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Hallo,
sei [mm] q_n [/mm] eine Abzählung von [mm] \IQ [/mm] und [mm] f_n [/mm] : [0,1] -> [mm] \IR [/mm] definiert durch
[mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x \in \{q_k | k\leq n \}\\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Warum sind nun alle [mm] f_n [/mm] riemann-integrierbar? So wie ich das sehe, ist das ja die Identitätsfunktion rationaler Zahlen eingeschränkt auf die ersten n Glieder der Abzählung. D.h. aber dann doch, dass ich irgendwo im Wertebereich Unstetigkeitsstellen bekomme, wo dann Ober- und Untersumme nicht mehr übereinstimmen. Was übersehe ich da?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> sei [mm]q_n[/mm] eine Abzählung von [mm]\IQ[/mm] und [mm]f_n[/mm] : [0,1] -> [mm]\IR[/mm]
> definiert durch
>
> [mm]f_n(x)[/mm] = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x \in \{q_k | k\leq n \}\\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
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> Warum sind nun alle [mm]f_n[/mm] riemann-integrierbar? So wie ich
> das sehe, ist das ja die Identitätsfunktion rationaler
> Zahlen eingeschränkt auf die ersten n Glieder der
> Abzählung.
bitte? Identitätsfunktionen sind sowas: $X [mm] \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \in X\,.$ [/mm] Das ist die Identität auf [mm] $X\,.$
[/mm]
Du meinst die charakteristische Funktion, bzw. Indikatorfunktion. Und [mm] $f_n$ [/mm] ist
nicht die Indikatorfunktion, sondern es ist [mm] $f_n(x):\equiv1-\mathds{1}_{\{q_k | k\leq n \}}(x)\,.$
[/mm]
> D.h. aber dann doch, dass ich irgendwo im
> Wertebereich Unstetigkeitsstellen bekomme, wo dann Ober-
> und Untersumme nicht mehr übereinstimmen. Was übersehe
> ich da?
?? Die [mm] $f_n$ [/mm] haben doch nur endlich viele Unstetigkeitsstellen, und es geht um
die Existenz eines BESTIMMTEN Riemann-Integrals! Nicht unerwähnt lassen sollte
man allerdings die (offensichtliche) Beschränktheit der [mm] $f_n$!
[/mm]
Weiteres kannst Du auch ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen!
Gruß,
Marcel
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Um das mal in Prosa zu formulieren, heißt das also, dass die Unstetigkeitsstellen nicht wie beim Grenzwert unendlich fein werden und man deshalb die riemannschen Treppenfunktionen wie gehabt dazwischenlegen kann (z.B. von einer Unstetigkeitsstelle zur nächsten)?
Und ja, Identitätsfunktion war natürlich Quatsch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Um das mal in Prosa zu formulieren, heißt das also, dass
> die Unstetigkeitsstellen nicht wie beim Grenzwert unendlich
> fein werden und man deshalb die riemannschen
> Treppenfunktionen wie gehabt dazwischenlegen kann (z.B. von
> einer Unstetigkeitsstelle zur nächsten)?
naja, Du hast hier immer endlich viele Unstetigkeitsstellen. Die können also,
in Prosa formuliert, "nicht ganz dicht" sein  Es sind sozusagen auch
isolierte Unstetigkeitsstellen. Mach's Dir doch nicht zu schwer, wenn Dir
das noch nicht ganz klar ist:
Um sich die Aussage mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen klarzumachen,
reicht es eigentlich, sich mal die Aussage mit einer einzigen Unstetigkeitsstelle
klarzumachen (ähnlich wie bei manchen Induktionsbeweisen; z.B. kann man
das verallgemeinerte Assoziativgesetz eigentlich einsehen, wenn man
überhaupt erstmal das Assoziativgesetz für 3 Elemente eingesehen hat).
Nimm' mal an, es wäre [mm] $q_1=1/2\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $$f_1(x)=1 \text{ für }x \not=1/2 \text{ und }f(1/2)=0\,.$$
[/mm]
Was wäre hier [mm] $\int_0^1 f_1(x) dx\,,$ [/mm] und warum?
Tipp:
[mm] $$\int_0^1 f_1(x)dx=\int_0^{1/2}f_1(x)dx+\int_{1/2}^1 f_1(x)dx\,,$$
[/mm]
wobei zu beachten ist, dass beide Integrale rechterhand existieren!
Das ich das nur so beispielhaft mache, liegt einfach daran, dass es im Link
auch (ganz) allgemein beschrieben wird. Und wenn Du an der Aussage im
Link zweifelst, dann schreibe Dir das alles mal per Definitionem hin, dann
wirst Du es einsehen!
Gruß,
Marcel
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Ja, was du aufgeschrieben hast, meinte ich mit meinem letzten Post auch. Im Prinzip ist schon jetzt alles klar. ;)
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