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reelle Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Mo 06.02.2012
Autor: atseaa

Aufgabe
Eine reele Folge ist (rekursiv) definiert mit

[mm] a_0:=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}:= qa_n [/mm] +1 mit n in [mm] {N_0} [/mm]

Bestimmen Sie die explizite Form.

Howdy, knobel gerade an dieser Aufgabe und mir fällt nicht mehr wirklich viel ein! Werde es natürlich weiter probieren, allerdings ist ein zweites Eisen im Feuer immer gut. ;)

Bisherige Überlegungen:

Habe mir die ersten paar rekursiven Glieder aufgeschrieben:

[mm] a_0=1 [/mm]
[mm] a_1=q+1 [/mm]
[mm] a_2=q(q+1)+1=q^2+q+1 [/mm]
[mm] a_3=q(q(q+1)+1)+1=q^3+q^2+q+1 [/mm]

Direkt erkennt man, dass die Folge ausmultipliziert so aussehen muss:

[mm] a_n [/mm] = [mm] q^n [/mm] + q^(n-1) ... [mm] q^1 [/mm] + [mm] q^0 [/mm]

Das dürfte ja noch nicht die explizite Folge sein, ist ja nur eine andere Schreibweise der rekursiven.
Ich komme jetzt nur auf keinen grünen Zweig. Fakultät macht in diesem Zusammenhang wohl kein Sinn in diesem Zusammenhang. Geometrische Reihe ist es auch nicht, denn der Quotient zweier Folgeglieder ist nicht konstant.

Hat jemand einen Schubser in die richtige Richtung?

Grüße
        
Bezug
reelle Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Mo 06.02.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Direkt erkennt man, dass die Folge ausmultipliziert so
> aussehen muss:
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]q^n[/mm] + q^(n-1) ... [mm]q^1[/mm] + [mm]q^0[/mm]

[ok]
  
> Das dürfte ja noch nicht die explizite Folge sein, ist ja
> nur eine andere Schreibweise der rekursiven.

Nein. Dieser Ausdruck hängt doch nur noch von n ab und nicht mehr von [mm] $a_{n-1}$. [/mm]

Du kannst ja direkt schreiben:

[mm] $a_n [/mm] = [mm] q^n [/mm] + [mm] q^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] q^1 [/mm] + [mm] q^0 [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^n q^k$ [/mm]

> Geometrische Reihe ist es auch nicht, denn
> der Quotient zweier Folgeglieder ist nicht konstant.

Halt. Es ist keine geometrische Folge, aber eine geometrische Summe ist es sehr wohl :-)

Du bist soweit also fertig und brauchst keinen "Schubser" mehr ;-)
Die Frage ist halt noch, ob du es noch formal beweisen müsstest.

MFG,
Gono.
Bezug
                
Bezug
reelle Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:56 Mo 06.02.2012
Autor: atseaa

Servus,

danke für die Antwort, also hatte ich es schon quasi. ;)

Das Summenzeichen ist mir absolut nicht in den Sinn gekommen, da ich irgendwie meinte, man müsste eine Formel rauskriegen, wo man das n einsetzt und dann quasi direkt ( nicht über n-Teile) das n-te Glied der Folge bekommt.
Ist ja doch relativ langwierig zum ausrechnen, aber es genügt natürlich der Definition bei der expliziten Form eine Formel zu haben anstatt wie bei der Rekursiven immer neu einsetzen zu müssen.

Vielen Dank!
Bezug
                        
Bezug
reelle Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:04 Mo 06.02.2012
Autor: incubi

Hallo,

die Summe wiederum kannst du auch direkt berechnen,

siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Gruß,
Incubi
Bezug
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