reelle Reihe, konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Do 19.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Man beweise oder widerlege die folgenden Aussagen über reelle Reihen:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n(n+1)} [/mm] ist für alle x [mm] \in [/mm] [-1,1] konvergent.
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{^{n} \wurzel{2}} [/mm] ist konvergent
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n}} [/mm] ist konvergent
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Hallo...
ich habe erstmal speziel zur ersten Aufgabe eine Frage...
Ich habe mir gedacht, diese Aufgabe kann man lösen,
indem man entweder ein Gegenbsp. aufzeigt oder
man könnte doch auch schauen, was passiert, wenn man für x= -1, x=1 und x=0,5 setzt
und wenn bei denen überall rauskommt, dass diese konvergieren...
ist doch die Aufgabe gelöst, oder???
Also, für x=-1
erhalte ich [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] Leibnizkriterium (prüfen ob Nullfoge und monoton fallend)... das passt...
für x=1
Partialsummenfolge [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] wenn ich mir den Grenzwert n gegen unendlich anschaue, erhalte ich 1... konvergiert gegen 1...
für x=0,5
da bin ich mir nicht sicher, wie man das anpacken soll....
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{0,5^{n}}{n(n+1)}
[/mm]
das geht doch dann über das Majorantenkriterium, oder?
Für ein wenig Hilfe wäre ich sehr dankbar...
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Doreen!
Bitte stelle nicht so viele Teilaufgaben auf einmal in den gleichen Strang (bitte für jede Teilaufgabe einen Extra-Strang), denn das demotiviert unglaublich die hilfsbereiten Mitglieder und potentiellen Antwortgeber, wenn man einer solchen Aufgabenflut entgegenblickt.
Zu deiner ersten Aufgabe sei anzumerken, dass es nicht genügt konkrete Werte einzusetzen!
Man muss schon eine geeignete Abschnätzung vornehmen und dann das Majorantenkriterium anwenden.
Nun gilt aber für $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$:
[mm] $\left\vert \frac{x^n}{n(n+1)} \right\vert \le \frac{1}{n^2}$,
[/mm]
und die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ [/mm] konvergiert.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:41 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | zu prüfen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n(n+1)}
[/mm]
ist für alle x [mm] \in [/mm] [-1,1] konvergent....
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Hallo und Guten Morgen,
sorry erstmal, dass ich soviele Teilaufgaben in einen Strang gesetzt habe... kommt nicht mehr vor.
Die Lösung aus der Antwort war ja, dass
[mm] \left\vert \frac{x^n}{n(n+1)} \right\vert \le \frac{1}{n^2} [/mm] und das konvergiert...
Na gut, ich gebe es zu, ich komme nicht auf [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] aber
ich versuche es weiter...
Meine Frage: x kann ja jeden Wert [-1,1] annehmen also auch 0, es steht ja nicht in der Aufgabenstellung, dass es nicht so sein darf und 0 ist im Intervall enthalten....
wenn ich nun x=0 setze, erhalte ich [mm] \bruch{0^{n}}{n(n+1)} [/mm] und 0 durch irgendwas ist bei mir 0... dann stimmt doch das mit der Konvergenz nicht
mehr... oder mache ich hierbei einen Denkfehler?
ich soll ja zeigen, das die Reihe für x=-1, x= -1/2, x=0, x= 1/3 usw. konvergent ist...
oder langt es wirklich nur, dass ich beweise dass die Reihe an sich konvergent ist, und lasse die x unberücksichtigt?
Für Antwort und ein "wenig Licht im Dunkel" schonmal vielen Dank im Voraus.
Gruß Doreen
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Hallo Doreen!
> Die Lösung aus der Antwort war ja, dass
>
> [mm]\left\vert \frac{x^n}{n(n+1)} \right\vert \le \frac{1}{n^2}[/mm]
> und das konvergiert...
[mm]\left\vert \frac{x^n}{n*(n+1)} \right\vert \le \frac{1}{n^2} \ = \ \frac{\left|x^n\right|}{\left|n*(n+1)\right|} \ = \ \frac{\red{\left|x^n\right|}}{n*\blue{(n+1)}}[/mm]
Für $x \ [mm] \in [/mm] \ [-1; \ +1]$ gilt: [mm] $\left|x^n\right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$
Und es gilt zudem: [mm] $\bruch{1}{n+1} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
Daher wird:
[mm]\frac{\red{\left|x^n\right|}}{n*\blue{(n+1)}} \ \le \ \frac{\red{+1}}{n*\blue{n}} \ = \ \bruch{1}{n^2}[/mm]
> wenn ich nun x=0 setze, erhalte ich [mm]\bruch{0^{n}}{n(n+1)}[/mm]
> und 0 durch irgendwas ist bei mir 0... dann stimmt doch das
> mit der Konvergenz nicht
> mehr... oder mache ich hierbei einen Denkfehler?
Ich denke, Du machst einen Denkfehler ... 
[mm]\bruch{0^{n}}{n*(n+1)} \ = \ 0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und das setzen wir in die Reihe ein. Wir erhalten:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}0 [/mm] \ = \ 0+0+0+0+... \ = \ 0$
Was heißt denn "Konvergenz" bei einer unendlichen Reihe? Der Summenwert strebt gegen einen konkreten Zahelnwert! Und das ist hier doch eindeutig gegeben mit [mm] $\summe [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Danke, danke, danke,
da muss man erstmal drauf kommen...
lass es mir jetzt durch den Kopf gehen...
Gruß Doreen
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