rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 So 08.03.2015 | | Autor: | MaxG |
| Aufgabe | | Die rationale Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] sei rekursiv defniert durch [mm]x_0:=1[/mm] und [mm]x_n:=\bruch{1}{2}\left( x_{n-1}+\bruch{2}{x_{n-1}} \right)[/mm] für [mm]n\ge1[/mm]. Zeige: [mm]\left( x_n \right)_{n\in\IN}[/mm] ist streng monoton fallend. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Ansatz: zunächst habe ich das ganze etwas umgeformt:
[mm]x_{n+1}=\bruch{1}{2} \left(x_n+\bruch{2}{x_{n}} \right)=\bruch{1}{2}x_n+\bruch{1}{x_{n}}[/mm]
Da die definition von streng fallender monotonie ja [mm]x_{n+1}
[mm]\bruch{1}{2}x_n+\bruch{1}{x_n}
Um strenge monotonie zu zeigen müsste ich ja jetzt daraus eine wahre Aussage folgern. Ich habe bis jetzt folgende Umformungen hinbekommen:
[mm]\bruch{1}{2}x_n+\bruch{1}{x_n}
Ab da komme ich nicht mehr wirklich weiter. Die ersten drei Werte der Folge habe ich ausgerechnet, und sie legen nahe, dass [mm]\wurzel{2}[/mm] tatsächlich der Grenzwert der Folge ist. Allerdings hilft mir das nicht bei meinem Monotonieproblem. Wie könnte ich vorgehen? Ich hoffe, jemand kann mir weiterhelfen. Gruß, Max
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Hallo MaxG, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das sieht doch schon ganz gut aus.
> Die rationale Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] sei rekursiv defniert
> durch [mm]x_0:=1[/mm] und [mm]x_n:=\bruch{1}{2}\left( x_{n-1}+\bruch{2}{x_{n-1}} \right)[/mm]
> für [mm]n\ge1[/mm]. Zeige: [mm]\left( x_n \right)_{n\in\IN}[/mm] ist streng
> monoton fallend.
>
> Mein Ansatz: zunächst habe ich das ganze etwas
> umgeformt:
>
> [mm]x_{n+1}=\bruch{1}{2} \left(x_n+\bruch{2}{x_{n}} \right)=\bruch{1}{2}x_n+\bruch{1}{x_{n}}[/mm]
Jo.
> Da die definition von streng fallender monotonie ja
> [mm]x_{n+1}
> [mm]\bruch{1}{2}x_n+\bruch{1}{x_n}
Genau. Das ist zu zeigen.
> Um strenge monotonie zu zeigen müsste ich ja jetzt daraus
> eine wahre Aussage folgern. Ich habe bis jetzt folgende
> Umformungen hinbekommen:
>
> [mm]\bruch{1}{2}x_n+\bruch{1}{x_n}
Du hast das rote Quadrat offenbar mitgerechnet, aber nicht mit aufgeschrieben.
> Ab da komme ich nicht mehr wirklich weiter. Die ersten drei
> Werte der Folge habe ich ausgerechnet, und sie legen nahe,
> dass [mm]\wurzel{2}[/mm] tatsächlich der Grenzwert der Folge ist.
Dass das der Grenzwert ist, kannst Du sogar ausrechnen. Das hast Du eigentlich sogar schon...
> Allerdings hilft mir das nicht bei meinem Monotonieproblem.
> Wie könnte ich vorgehen? Ich hoffe, jemand kann mir
> weiterhelfen. Gruß, Max
Du hast schon die Hälfte der Miete. Für [mm] x_n>\wurzel{2} [/mm] ist die Monotoniebedingung ja erfüllt, dann ist [mm] x_{n+1}
Jetzt wüssten wir aber gern, ob auch [mm] x_{n+2}\wurzel{2} [/mm] ist. Das musst Du also noch untersuchen.
Die Frage ist also, ob gilt
[mm] x_n>\wurzel{2}\quad\Rightarrow\quad \blue{\wurzel{2}<}x_{n+1}
Den rechten Teil der Ungleichungskette hast Du schon gezeigt, der linke (blaue) fehlt noch.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Mo 09.03.2015 | | Autor: | MaxG |
Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort.
Ja, das Quadrat habe ich wohl vergessen, sorry ;) Ich benutze zum ersten mal den mathematischen Textsatz und bin noch nicht ganz sicher damit.
Gelöst bekommen habe ich die Aufgabe immer noch nicht. Also, dass ich [mm]x_{n+1}>\wurzel{2}[/mm] zeigen muss leuchtet mir ein. Ich habe jetzt versucht [mm] x_n>\wurzel{2}[/mm] umzuformen, sodass dies sichtbar wird. Mit mäßigem Erfolg.
[mm] x_n>\wurzel{2}
\gdw 1>\wurzel{2}*\bruch{1}{x_n}
\gdw \bruch{1}{\wurzel{2}}>\bruch{1}{x_n}
\gdw \bruch{x_n}{\wurzel{2}}>1
\gdw \bruch{x_n^2}{2}>\bruch{x_n}{\wurzel{2}}
\gdw \bruch{x_n}{2}+\bruch{1}{x_n}>\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{x_n}
\gdw x_{n+1}>\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{x_n}[/mm]
Leider ist [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{x_n}<\wurzel{2}[/mm] also hat mir das gar nichts gebracht.
Ich steh irgendwie auf dem Schlauch. Vielleicht noch ein kleiner Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Mo 09.03.2015 | | Autor: | fred97 |
1. In Deinem Eigangspost schreibst Du:
$ [mm] x_0:=1 [/mm] $ und $ [mm] x_n:=\bruch{1}{2}\left( x_{n-1}+\bruch{2}{x_{n-1}} \right) [/mm] $ für $ [mm] n\ge1 [/mm] $
Sollte das nicht so lauten: [mm] x_0=2 [/mm] ?
2. Betrachte
[mm] x_{n+1}^2-2 [/mm] und zeige
$ [mm] x_{n+1}^2-2=\bruch{1}{4}(x_n [/mm] - [mm] \bruch{2}{x_n})^2$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mo 09.03.2015 | | Autor: | MaxG |
> 1. In Deinem Eigangspost schreibst Du:
>
> [mm]x_0:=1[/mm] und [mm]x_n:=\bruch{1}{2}\left( x_{n-1}+\bruch{2}{x_{n-1}} \right)[/mm]
> für [mm]n\ge1[/mm]
>
> Sollte das nicht so lauten: [mm]x_0=2[/mm] ?
>
Nein, in der Aufgabenstellung ist [mm]x_0:=1[/mm] definiert.
>
> 2. Betrachte
>
> [mm]x_{n+1}^2-2[/mm] und zeige
>
> [mm]x_{n+1}^2-2=\bruch{1}{4}(x_n - \bruch{2}{x_n})^2[/mm]
>
> FRED
[mm]x_{n+1}-2=\left( \bruch{1}{2}x_n+\bruch{1}{x_n} \right)^2-2 =\bruch{1}{4}x_n^2-1+\bruch{1}{x_n^2}=
\bruch{1}{4}\left( x_n^2-4+\bruch{4}{x_n^2}\right)=
\bruch{1}{4}\left( x_n-+\bruch{2}{x_n}\right)^2[/mm]
Ich sehe grad noch nicht, wie mir das weiterhilft.
Gruß, Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 09.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> > 1. In Deinem Eigangspost schreibst Du:
> >
> > [mm]x_0:=1[/mm] und [mm]x_n:=\bruch{1}{2}\left( x_{n-1}+\bruch{2}{x_{n-1}} \right)[/mm]
> > für [mm]n\ge1[/mm]
> >
> > Sollte das nicht so lauten: [mm]x_0=2[/mm] ?
> >
> Nein, in der Aufgabenstellung ist [mm]x_0:=1[/mm] definiert.
Dann ist das ein Tipfehler
> >
> > 2. Betrachte
> >
> > [mm]x_{n+1}^2-2[/mm] und zeige
> >
> > [mm]x_{n+1}^2-2=\bruch{1}{4}(x_n - \bruch{2}{x_n})^2[/mm]
> >
> > FRED
> [mm]x_{n+1}-2=\left( \bruch{1}{2}x_n+\bruch{1}{x_n} \right)^2-2 =\bruch{1}{4}x_n^2-1+\bruch{1}{x_n^2}=
\bruch{1}{4}\left( x_n^2-4+\bruch{4}{x_n^2}\right)=
\bruch{1}{4}\left( x_n-+\bruch{2}{x_n}\right)^2[/mm]
>
> Ich sehe grad noch nicht, wie mir das weiterhilft.
Echt ? Mach mal die Augen auf !
[mm] x_{n+1}^2-2= \bruch{1}{4}\left( x_n-\bruch{2}{x_n}\right)^2
[/mm]
Die rechte Seite ist [mm] \ge [/mm] 0, also ist [mm] x_{n+1}^2 \ge [/mm] 2
Wie kommst Du nun von [mm] x_{n}^2 [/mm] > 2 auf [mm] x_{n+1}^2 [/mm] > 2 ?
FRED
> Gruß, Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Mo 09.03.2015 | | Autor: | MaxG |
> Echt ? Mach mal die Augen auf !
>
> [mm]x_{n+1}^2-2= \bruch{1}{4}\left( x_n-\bruch{2}{x_n}\right)^2[/mm]
>
> Die rechte Seite ist [mm]\ge[/mm] 0, also ist [mm]x_{n+1}^2 \ge[/mm] 2
>
> Wie kommst Du nun von [mm]x_{n}^2[/mm] > 2 auf [mm]x_{n+1}^2[/mm] > 2 ?
>
> FRED
> > Gruß, Max
>
OH
...
Also, da [mm]x_{n}^2[/mm] > 2 folgt daraus, dass auch [mm]x_{n+1}^2[/mm] > 2 sein muss, da somit [mm]\bruch{1}{4}\left( x_n-\bruch{2}{x_n}\right)^2[/mm] auch immer echt größer 0 sein muss.
Vielen vielen dank für die Hilfe. Ich stand echt auf dem Schlauch. Lieben Gruß, Max
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