rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Sa 02.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Definiere eine rekursive Folge durch [mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] \wurzel{2a_{n} + 3} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a_0 \in [/mm] [1,3).
a) Zeige mit Induktion nach n, dass [mm] a_n \in [/mm] [1,3) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] . |
Hallo,
bin mir unsicher, ob die Induktion so korrekt ist, also:
IA: [mm] n_{0}= [/mm] 0: [mm] a_0 \in [/mm] [1,3) nach Definition
IV: [mm] a_{n} \in [/mm] [1,3) soll gelten für ein n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
IS: n [mm] \to [/mm] n+1:
Nach IV ist 1 [mm] \le a_{n} [/mm] < 3
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 [mm] \le 2a_{n} [/mm] < 6
[mm] \Rightarrow [/mm] 5 [mm] \le 2a_{n} [/mm] +3 < 9
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \le \wurzel{5} \le \wurzel{2a_{n} +3} [/mm] < 3
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \le a_{n+1} [/mm] < 3
[mm] \Rightarrow a_{n+1} \in [/mm] [1,3)
Kann man das einfach so machen, dass man die Ungleichung von der IV so lange umformt, bis es passt oder gibt es da einen eleganteren Weg?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Definiere eine rekursive Folge durch [mm]a_{n+1}[/mm] :=
> [mm]\wurzel{2a_{n} + 3}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]a_0 \in[/mm] [1,3).
> a) Zeige mit Induktion nach n, dass [mm]a_n \in[/mm] [1,3) [mm]\forall[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm] .
> Hallo,
> bin mir unsicher, ob die Induktion so korrekt ist, also:
> IA: [mm]n_{0}=[/mm] 0: [mm]a_0 \in[/mm] [1,3) nach Definition
> IV: [mm]a_{n} \in[/mm] [1,3) soll gelten für ein n [mm]\ge n_{0}[/mm]
> IS:
> n [mm]\to[/mm] n+1:
> Nach IV ist 1 [mm]\le a_{n}[/mm] < 3
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2 [mm]\le 2a_{n}[/mm] < 6
> [mm]\Rightarrow[/mm] 5 [mm]\le 2a_{n}[/mm] +3 < 9
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 [mm]\le \wurzel{5} \le \wurzel{2a_{n} +3}[/mm] < 3
hier würde ich noch kurz eine Begründung ergänzen. (Monotonie der
Wurzelfunktion ...).
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 [mm]\le a_{n+1}[/mm] < 3
> [mm]\Rightarrow a_{n+1} \in[/mm] [1,3)
> Kann man das einfach so machen, dass man die Ungleichung
> von der IV so lange umformt, bis es passt oder gibt es da
> einen eleganteren Weg?
Das war doch sehr elegant. Manchmal gibt es andere Strategien, dass man
vielleicht erst mal besser anfängt, zu schauen, wo man hinwill, und dann
mit Äquivalenzumformungen zu einer Aussage kommt, die hinreichend
für die zu beweisende Aussage ist, aber einfacher zu beweisen ist.
Ich schreibe Dir gleich mal ein Beispiel in einer Mitteilung (was jetzt relativ
einfach ist) - nur, damit Du *das Verfahren* auch mal siehst.
Aber hier: Alles Okay! [okay]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
hier mal ein Beispiel, bei dem es unnötig ist, aber man trotzdem sieht, wie
man vorgehen kann:
Zu beweisen ist
[mm] $n^2 [/mm] < [mm] 2^n$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge 5\,.$
[/mm]
Jetzt nur mal zum Induktionsschritt: Am Ende wollen wir
[mm] $(n+1)^2 [/mm] < [mm] 2^{n+1}$
[/mm]
sehen: Wenn [mm] $n^2 [/mm] < [mm] 2^n$ [/mm] gilt, dann gilt auch
[mm] $n^2+2n+1 [/mm] < [mm] 2*2^n\,.$
[/mm]
Hinreichend für die Behauptung ist also, zu zeigen:
$2n+1 < [mm] 2^n$ [/mm] (für $n [mm] \ge [/mm] 5$).
Gut, ich sehe, dass das ein nicht ganz so tolles Beispiel ist... 
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Machen wir einfach den kleinen Gauß:
Zu zeigen: Aus [mm] $\sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)$ [/mm] folgt
[mm] $\sum_{k=1}^{n+1} k=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\,.$
[/mm]
Wir wollen also zu
(*) [mm] $\sum_{k=1}^{n+1} k\stackrel{!}{=}\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$
[/mm]
hin. Es GILT
[mm] $\sum_{k=1}^{n+1} k=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)+(n+1)$
[/mm]
und mit der I.V.
[mm] $\sum_{k=1}^{n+1} k=\frac{1}{2}n*(n+1)+(n+1)$.
[/mm]
Damit ändert sich die zu beweisende Behauptung (*) äquivalent in
(**) [mm] $\frac{1}{2}n*(n+1)+(n+1)\stackrel{!}{=}\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\,.$
[/mm]
Der Beweis wird also fertig, wenn wir in (**) begründen können, dass das
[mm] $\stackrel{!}{=}$ [/mm] ("soll gleich sein") ersetzt werden darf durch ein =.
Das ist aber nicht mehr schwer einzusehen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Sa 02.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \In} [/mm] konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. |
Hallo nochmal,
vielen Dank schon mal bis hier hin. Ich habe allerdings hier noch formale Probleme beim Beweis.
Um zu zeigen, dass [mm] (a_{n})_{n \in \In} [/mm] muss ich zeigen, dass die Folge beschränkt ist und monoton (steigt).
Die Beschränktheit folgt sofort aus [mm] a_{n} \in [/mm] [1, 3), was ich im ersten Teil gezeigt habe.
Von einem weiteren Teil der Aufgabe (, der hier nicht erwähnt wurde), weiß ich, dass: [mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{a_{n}^{2}- 2a_{n} -3}{a_{n}+\wurzel{2a_{n}+3}}.
[/mm]
Ich sehe zwar, dass dieser Bruch für alle [mm] a_{n} \in [/mm] [1, 3) einen Wert kleiner 0 annimmt und die Folge somit monoton steigt, doch wie beweise ich das formal korrekt?
Zum Grenzwert: Wenn [mm] a_{n} [/mm] gegen a konvergiert, konvergiert auch [mm] a_{n+1} [/mm] gegen a, daher muss gelten: a= [mm] \wurzel{2a+3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a^{2} [/mm] = 2a+3
[mm] \Rightarrow a^{2} [/mm] -2a -3 = 0
Mittels p-q-Formel erhält man : a= 1 [mm] \pm [/mm] 2, da aber a= [mm] \wurzel{2a+3} \ge [/mm] 0 sein muss, folgt a=3.
Also konvergiert die Folge gegen 3.
Viele Grüße
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Hallo,
Da du ja auch oben mit Induktion gearbeitet hast - wieso zeigst du nicht mittels vollständiger Induktion , dass [mm] $a_{n}$ [/mm] monoton wachsend ist? (einfach um das ganze ein weniger zu üben)
Lg
PS: Übrigens: (unabhängig von diesem Bsp)
Falls beispielsweise [mm] a_{n+1}-a_{n} \le [/mm] 0 gilt und [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 so ist die Folge monoton fallend.
Das wäre eine einwandfreie Argumentation (sofern die Ungleichung entsprechend genau ausgeführt ist).
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> Hallo,
> Da du ja auch oben mit Induktion gearbeitet hast - wieso
> zeigst du nicht mittels vollständiger Induktion , dass
> [mm]a_{n}[/mm] monoton wachsend ist? (einfach um das ganze ein
> weniger zu üben)
>
Sorry, aber wie soll das konkret gehen? Ich wüsste nicht, dass man ohne weiteres so einfach mit Intervallen addieren, subtrahieren und Wurzel ziehen darf ?
> Lg
>
> PS: Übrigens: (unabhängig von diesem Bsp)
>
> Falls beispielsweise [mm]a_{n+1}-a_{n} \le[/mm] 0 gilt und [mm]a_{n} \ge[/mm]
> 0 so ist die Folge monoton fallend.
Reichts da nicht , wenn [mm] a_{n+1}-a_{n} \le [/mm] 0 gilt, damit eine Folge monoton fallend ist? Wozu soll da zusätzlich [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 sein???
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 So 03.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Reichts da nicht , wenn [mm]a_{n+1}-a_{n} \le 0[/mm]
für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
> gilt, damit eine Folge monoton fallend ist?
Ja, per definitionem.
> Wozu soll da zusätzlich [mm]a_{n} \ge[/mm] 0 sein???
Ich denke, dass Thomas mit seinen Gedanken schon weiter war und
allgemein auf bspw. folgendes aufmerksam machen wollte:
[mm] $a_{n+1}\le a_{n}$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}\le [/mm] 1$
Frage: Welche Bedingungen müssen für [mm] \Longleftrightarrow [/mm] erfüllt sein?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 04.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 So 03.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo ms2008de!
Zunächst: Aus \IN oder \mathbb{N} folgt [mm] $\mathbb{N}$. [/mm] (Beachte: großes N.)
> Zeige, dass die Folge [mm](a_{n})_{n \in \In}[/mm] konvergiert und bestimme ihren Grenzwert.
Okay.
> Um zu zeigen, dass [mm](a_{n})_{n \in \In}[/mm]
konvergiert,
> muss ich zeigen, dass die Folge beschränkt ist und monoton (steigt).
(Es reicht zu zeigen, dass die Folge nach oben beschränkt und
monoton steigend ist.)
> Die Beschränktheit folgt sofort aus [mm]a_{n} \in[/mm] [1, 3), was ich im ersten Teil gezeigt habe.
(Eine obere Schranke würde *ich* zur Sicherheit angeben.)
> Von einem weiteren Teil der Aufgabe (, der hier nicht
> erwähnt wurde), weiß ich, dass: [mm]a_{n}[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{a_{n}^{2}- 2a_{n} -3}{a_{n}+\wurzel{2a_{n}+3}}.[/mm]
Richtig.
> Ich
> sehe zwar, dass dieser Bruch für alle [mm]a_{n} \in[/mm] [1, 3)
> einen Wert kleiner 0 annimmt und die Folge somit monoton
> steigt, doch wie beweise ich das formal korrekt?
1. Begründe, dass der Nenner immer positiv ist.
(Das schaffst du alleine.)
2. Begründe, dass der Zähler immer nichtpositiv ist.
Dazu: Angenommen [mm] a_n^2-2a_n-3>0, [/mm] also [mm] a_n(a_n-2)>3. [/mm] Widerspruch?
(Ggf. Fallunterscheidung, bspw. mit [mm] [1,3)=[1,2)\cup\{2\}\cup(2,3).)
[/mm]
Daraus folgt: Der Bruch ist immer nichtpositiv.
> Zum Grenzwert: Wenn [mm]a_{n}[/mm] gegen a konvergiert, konvergiert
> auch [mm]a_{n+1}[/mm] gegen a, daher muss gelten: a= [mm]\wurzel{2a+3}[/mm]
> [mm]\Rightarrow a^{2}[/mm] = 2a+3
> [mm]\Rightarrow a^{2}[/mm] -2a -3 = 0
> Mittels p-q-Formel erhält man : a= 1 [mm]\pm[/mm] 2, da aber a=
> [mm]\wurzel{2a+3} \ge[/mm] 0 sein muss, folgt a=3.
> Also konvergiert die Folge gegen 3.
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:43 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das richtige Argument: Quadrieren ist keine
> Äquivalenzumformung
> und aus diesem Grund müssen wir bspw. eine Probe
> durchführen.
ich mag' diese Sprechweise nicht, denn wenn ich
$x,y [mm] \in [0,\infty)$
[/mm]
habe, dann gilt $x=y$ [mm] $\iff$ $x^2=y^2\,.$
[/mm]
Neben Deinem Argument gibt es auch noch ein anderes: Wegen [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für
(fast) alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] folgt auch [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n \;\ge\;0.$ [/mm] Damit kommt [mm] $a=-1\,$ [/mm] nicht in Frage.
Ich sehe übrigens auch oben keinen Fehler in der Argumentation: Es wird
gesagt, dass
[mm] $a=\sqrt{2a+3}$
[/mm]
gilt. Daraus folgt, dass NOTWENDIG $a [mm] \in \{-1,\;3\}$ [/mm] sein muss. Danach wird
gesagt:
Wäre [mm] $a=-1\,,$ [/mm] so wäre aber
[mm] $-1=\sqrt{2a+3}\,,$
[/mm]
wobei der Widerspruch entsteht, dass links eine Zahl [mm] $<0\,$ [/mm] steht, rechts aber
eine, die [mm] $\ge [/mm] 0$ sein muss. (Genaugenommen kann man auch [mm] $-1\,=\,1$ [/mm] hinschreiben,
um den Widerspruch deutlicher zu machen!)
(Letzteres darf er ja auch nur sagen, weil $2a+3 [mm] \ge [/mm] 0$ gilt und damit [mm] $\sqrt{2a+3}$ [/mm]
*überhaupt hingeschrieben werden darf*.)
Du hast das vielleicht anders interpretiert, aber ich finde diese
Argumentationskette überzeugend genug. (Verwunderlich ist vielleicht
die Art der Argumentation, da man meist nicht *verschachtelt* denkt.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:55 So 03.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Marcel!
Erstmal: Schön wieder von dir mehr zu lesen!
> > Das richtige Argument: Quadrieren ist keine
> > Äquivalenzumformung
> > und aus diesem Grund müssen wir bspw. eine Probe
> > durchführen.
>
> ich mag' diese Sprechweise nicht, denn wenn ich
>
> [mm]x,y \in [0,\infty)[/mm]
>
> habe, dann gilt [mm]x=y[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]x^2=y^2\,.[/mm]
Ja, du hast Recht. Ich habe hier zu allgemein geschrieben. "Ein
Argument:" trifft es wohl besser.
> Neben Deinem Argument gibt es auch noch ein anderes: Wegen
> [mm]a_n \ge 0[/mm] für
> (fast) alle [mm]n \in \IN[/mm] folgt auch [mm]\lim_{n \to \infty}a_n \;\ge\;0.[/mm]
> Damit kommt [mm]a=-1\,[/mm] nicht in Frage.
Finde ich auch gut!
> Ich sehe übrigens auch oben keinen Fehler in der
> Argumentation: Es wird
> gesagt, dass
>
> [mm]a=\sqrt{2a+3}[/mm]
>
> gilt. Daraus folgt, dass NOTWENDIG [mm]a \in \{-1,\;3\}[/mm] sein
> muss.
> Danach wird gesagt:
> Wäre [mm]a=-1\,,[/mm] so wäre aber
>
> [mm]-1=\sqrt{2a+3}\,,[/mm]
Jetzt sehe ich auch meinen Fehler. Das "a=" stand beim Zitieren
auf der Zeile dadrüber oben rechts. Ich habe sinngemäß gelesen:
"Es ist [mm] $a=1\pm [/mm] 2$ und wegen [mm] $\sqrt{2a+3} \ge [/mm] 0$ folgt [mm] $a=3\$."
[/mm]
> wobei der Widerspruch entsteht, dass links eine Zahl [mm]<0\,[/mm]
> steht, rechts aber
> eine, die [mm]\ge 0[/mm] sein muss. (Genaugenommen kann man auch
> [mm]-1\,=\,1[/mm] hinschreiben,
> um den Widerspruch deutlicher zu machen!)
> (Letzteres darf er ja auch nur sagen, weil [mm]2a+3 \ge 0[/mm] gilt
> und damit [mm]\sqrt{2a+3}[/mm]
> *überhaupt hingeschrieben werden darf*.)
Bingo!
> Du hast das vielleicht anders interpretiert, aber ich finde
> diese
> Argumentationskette überzeugend genug. (Verwunderlich ist
> vielleicht
> die Art der Argumentation, da man meist nicht
> *verschachtelt* denkt.)
Ich sehe keine Möglichkeit diese Argumentationskette falsch zu
interpretieren. Ich habe es einfach nur verbockt. 
Vielen Dank und beste Grüße
DieAcht
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 21:22 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo Marcel!
>
>
> Erstmal: Schön wieder von dir mehr zu lesen!
>
> > > Das richtige Argument: Quadrieren ist keine
> > > Äquivalenzumformung
> > > und aus diesem Grund müssen wir bspw. eine Probe
> > > durchführen.
> >
> > ich mag' diese Sprechweise nicht, denn wenn ich
> >
> > [mm]x,y \in [0,\infty)[/mm]
> >
> > habe, dann gilt [mm]x=y[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]x^2=y^2\,.[/mm]
>
> Ja, du hast Recht. Ich habe hier zu allgemein geschrieben.
> "Ein
> Argument:" trifft es wohl besser.
>
> > Neben Deinem Argument gibt es auch noch ein anderes: Wegen
> > [mm]a_n \ge 0[/mm] für
> > (fast) alle [mm]n \in \IN[/mm] folgt auch [mm]\lim_{n \to \infty}a_n \;\ge\;0.[/mm]
> > Damit kommt [mm]a=-1\,[/mm] nicht in Frage.
>
> Finde ich auch gut!
>
> > Ich sehe übrigens auch oben keinen Fehler in der
> > Argumentation: Es wird
> > gesagt, dass
> >
> > [mm]a=\sqrt{2a+3}[/mm]
> >
> > gilt. Daraus folgt, dass NOTWENDIG [mm]a \in \{-1,\;3\}[/mm] sein
> > muss.
> > Danach wird gesagt:
> > Wäre [mm]a=-1\,,[/mm] so wäre aber
> >
> > [mm]-1=\sqrt{2a+3}\,,[/mm]
>
> Jetzt sehe ich auch meinen Fehler. Das "a=" stand beim
> Zitieren
> auf der Zeile dadrüber oben rechts. Ich habe sinngemäß
> gelesen:
>
> "Es ist [mm]a=1\pm 2[/mm] und wegen [mm]\sqrt{2a+3} \ge 0[/mm] folgt [mm]a=3\[/mm]."
>
> > wobei der Widerspruch entsteht, dass links eine Zahl [mm]<0\,[/mm]
> > steht, rechts aber
> > eine, die [mm]\ge 0[/mm] sein muss. (Genaugenommen kann man auch
> > [mm]-1\,=\,1[/mm] hinschreiben,
> > um den Widerspruch deutlicher zu machen!)
> > (Letzteres darf er ja auch nur sagen, weil [mm]2a+3 \ge 0[/mm]
> gilt
> > und damit [mm]\sqrt{2a+3}[/mm]
> > *überhaupt hingeschrieben werden darf*.)
>
> Bingo!
>
> > Du hast das vielleicht anders interpretiert, aber ich finde
> > diese
> > Argumentationskette überzeugend genug. (Verwunderlich ist
> > vielleicht
> > die Art der Argumentation, da man meist nicht
> > *verschachtelt* denkt.)
>
> Ich sehe keine Möglichkeit diese Argumentationskette
> falsch zu
> interpretieren. Ich habe es einfach nur verbockt.
na, Du hast es dann einfach *verbockt*, weil durch das Zitieren eine Stelle
untergegangen war. Sowas ist menschlich.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Mo 04.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
Hallo nochmal,
> > Die Beschränktheit folgt sofort aus $ [mm] a_{n} \in [/mm] $ [1, 3), was ich im
> > ersten Teil gezeigt habe.
> (Eine obere Schranke würde *ich* zur Sicherheit angeben.)
3 ist obere Schranke, da [mm] a_{n} \in [/mm] [1, 3) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
> > Von einem weiteren Teil der Aufgabe (, der hier nicht
> > erwähnt wurde), weiß ich, dass: [mm]a_{n}[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] =
> > [mm]\bruch{a_{n}^{2}- 2a_{n} -3}{a_{n}+\wurzel{2a_{n}+3}}.[/mm]
>
> Richtig.
>
> > Ich
> > sehe zwar, dass dieser Bruch für alle [mm]a_{n} \in[/mm] [1, 3)
> > einen Wert kleiner 0 annimmt und die Folge somit monoton
> > steigt, doch wie beweise ich das formal korrekt?
>
> 1. Begründe, dass der Nenner immer positiv ist.
>
> (Das schaffst du alleine.)
>
Da [mm] a_{n} \in [/mm] [1 , 3) und somit insbesondere größer 0 folgt sofort:
[mm] a_{n}+\wurzel{2a_{n}+3} [/mm] > 0
> 2. Begründe, dass der Zähler immer nichtpositiv ist.
>
> Dazu: Angenommen [mm]a_n^2-2a_n-3>0,[/mm] also [mm]a_n(a_n-2)>3.[/mm]
> Widerspruch?
> (Ggf. Fallunterscheidung, bspw. mit
> [mm][1,3)=[1,2)\cup\{2\}\cup(2,3).)[/mm]
Fall 1: [mm] a_{n} \in [/mm] [1,2), dann ist
1 [mm] \le a_{n} [/mm] < 2
[mm] \Rightarrow [/mm] -1 [mm] \le a_{n}-2 [/mm] < 0
[mm] \Rightarrow [/mm] -1 [mm] \le a_{n}(a_{n}-2) [/mm] < 0 [mm] \not> [/mm] 3
Fall 2: [mm] a_{n} [/mm] = 2, dann ist [mm] a_{n}-2 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow a_{n}(a_{n}-2) [/mm] = 0 [mm] \not> [/mm] 3
Fall 3: [mm] a_{n} \in [/mm] (2, 3), dann ist
2 < [mm] a_{n} [/mm] < 3
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 < [mm] a_{n}-2 [/mm] < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 < [mm] a_{n}(a_{n}-2) [/mm] < 3 [mm] \not> [/mm] 3
[mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch zur Annahme, dass [mm] a_{n}(a_{n}-2) [/mm] > 3
[mm] \Rightarrow \bruch{a_{n}^{2}- 2a_{n} -3}{a_{n}+\wurzel{2a_{n}+3}} [/mm] < 0 [mm] \forall a_{n} \in [/mm] [1, 3)
[mm] \Rightarrow a_{n} [/mm] ist monoton steigend (und nach oben beschränkt)
[mm] \Rightarrow a_{n} [/mm] ist konvergent
Ist das soweit okay?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mo 04.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo nochmal,
>
> > > Die Beschränktheit folgt sofort aus [mm]a_{n} \in[/mm] [1, 3), was
> ich im
> > > ersten Teil gezeigt habe.
>
> > (Eine obere Schranke würde *ich* zur Sicherheit angeben.)
>
> 3 ist obere Schranke, da [mm]a_{n} \in[/mm] [1, 3) [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
(Besser: [mm] $3\$ [/mm] ist eine obere Schranke.)
> > > Von einem weiteren Teil der Aufgabe (, der hier nicht
> > > erwähnt wurde), weiß ich, dass: [mm]a_{n}[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] =
> > > [mm]\bruch{a_{n}^{2}- 2a_{n} -3}{a_{n}+\wurzel{2a_{n}+3}}.[/mm]
>
> >
> > Richtig.
> >
> > > Ich
> > > sehe zwar, dass dieser Bruch für alle [mm]a_{n} \in[/mm] [1, 3)
> > > einen Wert kleiner 0 annimmt und die Folge somit monoton
> > > steigt, doch wie beweise ich das formal korrekt?
> >
> > 1. Begründe, dass der Nenner immer positiv ist.
> >
> > (Das schaffst du alleine.)
> >
> Da [mm]a_{n} \in[/mm] [1 , 3) und somit insbesondere größer 0
> folgt sofort:
> [mm]a_{n}+\wurzel{2a_{n}+3}[/mm] > 0
Okay.
> > 2. Begründe, dass der Zähler immer nichtpositiv ist.
> >
> > Dazu: Angenommen [mm]a_n^2-2a_n-3>0,[/mm] also [mm]a_n(a_n-2)>3.[/mm]
> > Widerspruch?
> > (Ggf. Fallunterscheidung, bspw. mit
> > [mm][1,3)=[1,2)\cup\{2\}\cup(2,3).)[/mm]
>
> Fall 1: [mm]a_{n} \in[/mm] [1,2), dann ist
> 1 [mm]\le a_{n}[/mm] < 2
> [mm]\Rightarrow[/mm] -1 [mm]\le a_{n}-2[/mm] < 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] -1 [mm]\le a_{n}(a_{n}-2)[/mm] < 0 [mm]\not>[/mm] 3
> Fall 2: [mm]a_{n}[/mm] = 2, dann ist [mm]a_{n}-2[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow a_{n}(a_{n}-2)[/mm] = 0 [mm]\not>[/mm] 3
> Fall 3: [mm]a_{n} \in[/mm] (2, 3), dann ist
> 2 < [mm]a_{n}[/mm] < 3
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 < [mm]a_{n}-2[/mm] < 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 < [mm]a_{n}(a_{n}-2)[/mm] < 3 [mm]\not>[/mm] 3
Passt.
(*Ich* würde im ersten und dritten Fall am Ende einfach ein
"Widerspruch-Zeichen" hinzufügen oder genauer argumentieren.
Ich weiß zwar was du in den zwei Fällen mit [mm] \not>3 [/mm] meinst, aber
es gefällt mir so nicht. Ansonsten kann man den zweiten Fall
auch in einen der anderen Fälle mitnehmen.)
> [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch zur Annahme, dass [mm]a_{n}(a_{n}-2)[/mm] >
> 3
> [mm]\Rightarrow \bruch{a_{n}^{2}- 2a_{n} -3}{a_{n}+\wurzel{2a_{n}+3}}[/mm]
> < 0 [mm]\forall a_{n} \in[/mm] [1, 3)
Das haben wir nicht gezeigt. Wir haben gezeigt, dass
[mm] a_{n}-a_{n+1}=\bruch{a_{n}^{2}- 2a_{n} -3}{a_{n}+\wurzel{2a_{n}+3}}\not>0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN,
[/mm]
also
[mm] $a_{n}-a_{n+1}\le [/mm] 0$ für alle [mm] $n\in\IN$,
[/mm]
also insbesondere
[mm] $a_n\le a_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
(In der Tat kann man zeigen, dass [mm] (a_n) [/mm] auch streng monoton
wächst, also, dass [mm] $a_n
man auch diesen Ansatz weiterführen. Wir wissen:
[mm] $a_n\le a_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN\quad\wedge\quad a_n\in[1,3) [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Zu zeigen:
[mm] $a_n
Beweis: Angenommen es existiert (mindestens) ein [mm] m\in\IN [/mm] mit
[mm] $a_m=a_{m+1}$.
[/mm]
Dann ist
[mm] a_m-a_{m+1}=\bruch{a_{m}^{2}- 2a_{m} -3}{a_{m}+\wurzel{2a_{m}+3}}=0,
[/mm]
also insbesondere
[mm] $a_m-a_{m+1}=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad a_{m}^{2}- 2a_{m} [/mm] -3=0$.
Es ist
[mm] $a_{m}^{2}- 2a_{m} -3=(a_m+1)*(a_m-3)=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad \left(a_{m}=-1\quad\vee\quad a_{m}=3\right)$,
[/mm]
aber wegen
[mm] $-1\not\in[1,3)\quad\wedge\quad 3\not\in[1,3)$
[/mm]
erhalten wir einen Widerspruch, denn es ist
[mm] a_n\in[1,3) [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Demnach ist
[mm] $a_n
und somit [mm] (a_n) [/mm] streng monoton wachsend.
(Alternativ: Ändere die Annahme [mm] $a_n^2-2a_n-3>0$ [/mm] zu [mm] $a_n^2-2a_n-3\ge [/mm] 0$,
also [mm] $a_n^2-2a_n=a_n(a_n-2)>3$ [/mm] zu [mm] $a_n^2-2a_n=a_n(a_n-2)\ge [/mm] 3$).)
> [mm]\Rightarrow a_{n}[/mm] ist monoton steigend (und nach oben beschränkt) [mm]\Rightarrow a_{n}[/mm] ist konvergent
In beiden Aussagen beziehst du dich auf die Folge [mm] $(a_n)\$.
[/mm]
> Ist das soweit okay?
Ja.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mo 04.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Hallo nochmal,
> >
> > > > Die Beschränktheit folgt sofort aus [mm]a_{n} \in[/mm] [1, 3), was
> > ich im
> > > > ersten Teil gezeigt habe.
> >
> > > (Eine obere Schranke würde *ich* zur Sicherheit angeben.)
> >
> > 3 ist obere Schranke, da [mm]a_{n} \in[/mm] [1, 3) [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> (Besser: [mm]3\[/mm] ist eine obere Schranke.)
er hat zum Glück nicht von *der oberen Schranke* geredet. Aber das ist gut, denn
es gibt unendlich viele weitere obere Schranken: Jede Zahl $c > [mm] 3\,$ [/mm] ist auch eine!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:57 Di 05.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank nochmal, ihr habt mir sehr geholfen!
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