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| Aufgabe | Die Folge ( an) n [mm] \varepsilon \IN [/mm] sei rekursive definiert durch a1= 1 und
an [mm] +1:=\wurzel{9*an} [/mm] konvergiert! Wie lautet ihr Grenzwert? Tipp: Suchen Sie Fixpunkte der Rekursionsgleichung. |
Also was ist eigentlich mit Fixpunkte gemeint? Ich meine die ersten Folgenglieder der rekursiv definierten Folge sind doch a1= 1 , b2= 2, b3= 3, b4=4
Damit würde die Lösung der Folge lauten:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}= \wurzel{9*an} \to \infty
[/mm]
Grenzwert: [mm] \infty
[/mm]
Die Reihe geht doch gegen unendlich? Oder? Das es keine Nullfolge ist divergiert diese
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Hallo MatheMarkus,
das ist stellenweise noch schlecht zu lesen. Klick mal auf meine Formeln, wenn Du wissen willst, wie man sie eingibt.
> Die Folge ( an) n [mm]\varepsilon \IN[/mm] sei rekursive definiert
> durch a1= 1 und
> an [mm]+1:=\wurzel{9*an}[/mm] konvergiert! Wie lautet ihr
> Grenzwert? Tipp: Suchen Sie Fixpunkte der
> Rekursionsgleichung.
Also: [mm] (a_n)_n\in\IN
[/mm]
Dann [mm] a_1=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}:=\wurzel{9*a_n}
[/mm]
> Also was ist eigentlich mit Fixpunkte gemeint?
Später...
> Ich meine
> die ersten Folgenglieder der rekursiv definierten Folge
> sind doch a1= 1 , b2= 2, b3= 3, b4=4
Nicht doch. Setz doch mal ein: $ [mm] a_1=1\ \Rightarrow\ a_2=3,\ a_3=3\wurzel{3},\ a_4=\wurzel[4]{3^7}
[/mm]
> Damit würde die Lösung der Folge lauten:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}= \wurzel{9*an} \to \infty[/mm]
>
> Grenzwert: [mm]\infty[/mm]
>
> Die Reihe geht doch gegen unendlich? Oder?
Nein, das tut sie nicht. Sie konvergiert gegen den Wert 9.
> Das es keine
> Nullfolge ist divergiert diese
Das ist wohl nie eine Begründung. Auch die Folge [mm] a_n=\bruch{\summe_{k=1}^n 2^k}{2^{n+1}} [/mm] konvergiert nicht gegen Null, sondern gegen 1. Divergent ist sie damit noch lange nicht. Einfacher ist z.B. [mm] a_n=\bruch{n-1}{n} [/mm] - da ist es vielleicht offensichtlicher.
Zu "Fixpunkten" fällt mir hier nur folgendes ein: Wenn es einen Grenzwert gibt, dann müsste man ja irgendwo ein a finden, das folgendes (fast) erfüllt:
[mm] a=\wurzel{9*a}
[/mm]
Oder gibt es mehrere solche a? Dann gäbe es auch Fixpunkte.
Grüße
reverend
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Danke für die Antwort.
Warum konvergiert die Folge gegen 9? Wie sieht die genaue Rechnung Schlussfolgerung aus.
Ich meinte nicht die Folgenglieder sorry. Aber nach der rekursiven Definition sind doch die ersten Werte die man in die Folge einsetzt:
[mm] a_1= [/mm] 1, [mm] a_2= [/mm] 2, [mm] a_3=3 [/mm] usw.... oder?
Die Aussage das es keine Nullfolge ist und deswegen divergiert ist wohl falsch. Ist mir jetzt auch eingefallen. Es könnte auch sein das diese gegen einen Grenzwert läuft! Dann wäre Sie auch keine Nullfolge und nicht divergent!
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Hallo nochmal,
> Danke für die Antwort.
> Warum konvergiert die Folge gegen 9? Wie sieht die genaue
> Rechnung Schlussfolgerung aus.
Na, das sollst Du doch gerade herauskriegen. Die Aufgabe ist einerseits nicht schwer, aber andererseits kein Standardmodell. Ich finde sie sehr hübsch konstruiert. 
Mehr unten.
> Ich meinte nicht die Folgenglieder sorry. Aber nach der
> rekursiven Definition sind doch die ersten Werte die man in
> die Folge einsetzt:
>
> [mm]a_1=[/mm] 1, [mm]a_2=[/mm] 2, [mm]a_3=3[/mm] usw.... oder?
Nein, Du setzt 1,2,3 etc. in die Folgendefinition ein, und zwar als Werte für n.
> Die Aussage das es keine Nullfolge ist und deswegen
> divergiert ist wohl falsch. Ist mir jetzt auch eingefallen.
> Es könnte auch sein das diese gegen einen Grenzwert
> läuft! Dann wäre Sie auch keine Nullfolge und nicht
> divergent!
Eben, eben. Der umgekehrte Schluß gilt aber: eine divergente Folge kann keine Nullfolge sein.
Da die Folge rekursiv ist, könnte es hilfreich sein, eine nicht-rekursive explizite Darstellung der Folgenglieder in der Form [mm] a_n=f(n) [/mm] zu finden.
Dazu ein Tipp: wenn [mm] a_0=1 [/mm] schon feststeht, wird sich die Folge besser als [mm] a_n=3^{g(n)} [/mm] darstellen lassen. Damit findet man dann auch den Grenzwert leichter.
Also $ [mm] a_1=3^0,\ a_2=3^1,\ a_3=3^{\bruch{3}{2}},\ a_4=3^{\bruch{7}{4}} [/mm] $ etc.
Finde das Bildungsgesetz des Exponenten, dann bist Du fast schon fertig.
Grüße
reverend
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