rekursive Folge Konvergenz? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Sa 09.01.2010 | | Autor: | bestduo |
Ich suche einen Ansatz zu der folgenden Aufgabe:
es sei 0<k<1 und [mm] a_{1}:=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}:= \bruch{k + a_{n}}{1+a_{n}}
[/mm]
Mir ist klar, dass die Folge monoton fallend ist, da k + [mm] a_{n} [/mm] < [mm] 1+a_{n}
[/mm]
Jetzt fehlt mir nur noch der Grenzwert und ich weiß, dass die Folge konvergent ist ,aber
wie komm eich an den Grenzwert,da k ja so gesehen ein Parameter ist und für jeden anderen Wert für a es einen verschiedenen Grenzwert gibt? Oder liege ich ganz falsch??
Und was für ein Rolle spielt hier das rekursive Verhalten?
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Hiho,
ihr hattet bestimmt schon den Satz:
Sei [mm] a_n [/mm] monton und beschränkt => [mm] a_n [/mm] konvergent
Nehmen wir mal an, wir wissen, dass [mm] a_n [/mm] konvergiert und nennen den Grenzwert a, dann gilt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = a$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 So 10.01.2010 | | Autor: | bestduo |
Hat der von dir jetzt genannte Grenzwert hat der was mit dem a aus meiner Frage zu tun??" 0<a<1. " Wiw kommw ich auf den richtigen Grenzwert und nicht auf einen angenommenen?
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> Hat der von dir jetzt genannte Grenzwert hat der was mit
> dem a aus meiner Frage zu tun??" 0<a<1. "
Du hast kein a in deiner Frage, sondern ein k.
Und daher: Nein!
> Wiw kommw ich auf
> den richtigen Grenzwert und nicht auf einen angenommenen?
Ausrechnen! Wende den Grenzwert auf beiden Seiten der Rekursionsformel an und stelle nach a um!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:23 So 10.01.2010 | | Autor: | bestduo |
Müsste das so aussehen?:
da es monoton fallend ist folgt:
[mm] a_{n} \ge [/mm] grenzwert a
a einsetzten:
Z.z [mm] a_{n+1} \ge \bruch{k+a}{1+a} [/mm] = ??? es kommt aber nicht a raus oder soll ich das so zeigen:
[mm] a_{n}\mapsto [/mm] a
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{k+a_{n}}{1+a_{n}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a = [mm] \bruch{k+a}{1+a} \Rightarrow [/mm] a = [mm] \wurzel{k}
[/mm]
Aber folgt das zweite nicht aus dem ersten??
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> Müsste das so aussehen?:
Hallo,
es muß so aussehen:
zuerst zeigst Du, daß die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist.
Wenn Du das hast, dann folgt daraus, daß die Folge konvergiert.
Nun geht es so weiter:
den Grenzwert, den wir bisher noch nicht kennen, nennen wir a.
Die Rekursion war [mm] a_{n+1}=\bruch{k+a_n}{1+a_n}.
[/mm]
Wenn das so ist, dann ist auch [mm] \lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty}\bruch{k+a_n}{1+a_n},also
[/mm]
[mm] a=\bruch{k+a}{1+a}.
[/mm]
Nun auflösen nach a.
Gruß v. Angela
>
> da es monoton fallend ist folgt:
>
> [mm]a_{n} \ge[/mm] grenzwert a
>
> a einsetzten:
> Z.z [mm]a_{n+1} \ge \bruch{k+a}{1+a}[/mm] = ??? es kommt aber nicht
> a raus oder soll ich das so zeigen:
> [mm]a_{n}\mapsto[/mm] a
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{k+a_{n}}{1+a_{n}}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] a = [mm]\bruch{k+a}{1+a} \Rightarrow[/mm] a = [mm]\wurzel{k}[/mm]
>
> Aber folgt das zweite nicht aus dem ersten??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 10.01.2010 | | Autor: | bestduo |
ja danke. jetzt habe ich also a = [mm] \wurzel{k} [/mm] jetzt habe ich also den Grenzwert?
Dass die Folge monoton Fallend ist weiß ich wie es geht.
Also kann ich jetzt daraus schließen, dass die Folge konvergiert?
Muss ich nicht zeigen, dass der Grenzwert von [mm] a_{n} [/mm] a ist und von [mm] a_{n+1} [/mm] auch a ist?
Wenn ja wie mache ich das den?
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> ja danke. jetzt habe ich also a = [mm]\wurzel{k}[/mm]
Fast. Eine quadratische Gleichung hat immer 2 Lösungen (mit Vielfachheit)
Die eine Lösung fliegt zwar raus (warum), aber unter den Tisch fallen lassen fetzt nicht so sehr.
> Muss ich nicht zeigen, dass der Grenzwert von [mm]a_{n}[/mm] a ist
> und von [mm]a_{n+1}[/mm] auch a ist?
Ich find das zu allererst ziehmlich intuitiv. Wenn [mm] $a_n$ [/mm] gegen eine bestimmte Zahl $a$ geht (d.h. für große n dieser Zahl beliebig nahe kommen) dann gilt das ja auch für [mm] $a_{n+1}$. [/mm]
>
> Wenn ja wie mache ich das den?
>
Ganz formal werf ich mal den Begriff Cauchy-Folge in den Raum.
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 So 10.01.2010 | | Autor: | bestduo |
Danke an euch alle... Mit Cauchy habe ich mir das auch überlegt, aber ich weiß nicht wie ich damit anfangen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 So 10.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich suche einen Ansatz zu der folgenden Aufgabe:
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> es sei 0<k<1 und [mm]a_{1}:=1[/mm] und [mm]a_{n+1}:= \bruch{k + a_{n}}{1+a_{n}}[/mm]
>
> Mir ist klar, dass die Folge monoton fallend ist,
Damit magst du möglicherweise recht haben, aber...
> da k +
> [mm]a_{n}[/mm] < [mm]1+a_{n}[/mm]
... daraus folgt erst einmal lediglich, dass [mm] a_{n+1}<1 [/mm] gilt.
Für die Monotonie müsstest du schon [mm] a_{n+1}-a_n<0 [/mm] nachweisen.
Gruß Abakus
>
> Jetzt fehlt mir nur noch der Grenzwert und ich weiß, dass
> die Folge konvergent ist ,aber
> wie komm eich an den Grenzwert,da k ja so gesehen ein
> Parameter ist und für jeden anderen Wert für a es einen
> verschiedenen Grenzwert gibt? Oder liege ich ganz falsch??
> Und was für ein Rolle spielt hier das rekursive Verhalten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 So 10.01.2010 | | Autor: | bestduo |
Vielen Dank euch allen... Ich habe es jetzt alles verstanden und geschafft. Echt cool!
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