rekursive folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 So 17.12.2006 | | Autor: | philex |
| Aufgabe | Sei die rekursive Folge [mm] (a_n) [/mm] definiert durch
[mm] a_1=2, $a_{n+1}=((a²_n)+1)/2a_n$, [/mm] n>=2
[von mir zum Verständnis: n als Indizes]
Benutzen sie das Monotoniekriterium, um die Konvergenz der Folge zu zeigen und berechnen sie den Grenzwert.
Hinweis:Zeigen sie, dass die folge durch 1 nach unten beschränkt ist und dass sie monoton fällt. |
Guten Abend, für explizit definierte Folgen sind mir Beispiele mit dem Monotoniekriterium bekannt, jedoch finde ich in keinem Buch/Skript etwas über rekursive Folgen.
muss ich vom rekursiven ins explizite umformen? das geht doch nicht, oder? wo ist der trick?
Vielen DANK!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 So 17.12.2006 | | Autor: | philex |
halt, sorry, etwas schief gegangen:
es heißt richtig:
an= ((a²n)+1)/2an
sorry für die doppelte arbeit;o/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 So 17.12.2006 | | Autor: | max3000 |
Jetzt benutze endlich mal den Formeleditor.
So sieht doch kein Mensch durch.
Das ist doch nicht eindeutig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 So 17.12.2006 | | Autor: | max3000 |
> halt, sorry, etwas schief gegangen:
> es heißt richtig:
>
> an= ((a²n)+1)/2an
meinst du vielleicht [mm] a_{n+1}=\bruch{a_{n}^{2}+1}{2a_{n}} [/mm] ???
Irgendwo muss ja ein [mm] a_{n+1} [/mm] vorkommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 So 17.12.2006 | | Autor: | philex |
ist wohl ein fehler auf dem blatt, aber es ist sicherlich so gemeint, wie du es beschrieben hast. zumindest die rechte seite des terms...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 So 17.12.2006 | | Autor: | max3000 |
Hallöchen.
Mache doch einfach das, was im Hinweis steht.
Monotonie zeigen:
Fallend, wenn [mm] a_{n+1}
Beschränkheit:
Gibt es ein C, so dass für alle n [mm] a_{n}>C [/mm] ist?
Sieht man meistens nachdem man Monotonie betrachtet hat.
Ich würd es dir ja vorrechnen, aber ich glaube du hast die Aufgabe falsch abgeschrieben. Wenn die Formel stimmt, die du angegeben hast, stelle sie nach [mm] a_{n+1} [/mm] um.
Grüße Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 So 17.12.2006 | | Autor: | philex |
ich finde leider im formeleditor die symbole für folgen nicht.
aber jetzt sollte es richtig und verständlich sein.
ich bemühe mich und weiß, dass es in mathe auf jede einzelheit kommt....
ändert sich jetzt etwas an deinem tipp?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 So 17.12.2006 | | Autor: | max3000 |
Dann setzt du [mm] a_{n+1}
Für [mm] a_{n+1} [/mm] setzt du die Zuordnungsvorschrift ein und hast dann:
[mm] \bruch{a_{n}^{2}+1}{2a_{n}}
Mit bisschen Umstellen kommst du auf [mm] 1
Damit hast du ein C=1, was die untere Schranke darstellt und hast auch gleich die Monotonie gezeigt.
Damit bist du auch schon fertig.
Ich hoffe das ist jetzt auch richtig.
Grüße. Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Mo 18.12.2006 | | Autor: | philex |
die Umstellung erfolgt auf diese Weise:
[mm] ((a²_n)+1)/2a_n [/mm] < [mm] a_n |*2a_n
[/mm]
(a²_n)+1 < 2a²_n |-a²_n
also dein Ergebnis: 1 < [mm] a_n
[/mm]
Stimmt`s?
Ist ja leichter als ich gedacht habe, wie immer...!
Danke Max....;o)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo philex!
Bei der Umformung dieser Ungleichung verwendest Du indirekt bereits die Eigenschaft [mm] $a_n [/mm] \ > \ 1$ (zumindest aber [mm] $a_n [/mm] \ > \ 0$), da Du mit dem Term [mm] $2*a_n$ [/mm] multiplizierst.
Damit sich das Ungleichheitszeichen nicht umdreht, musst Du also sicherstellen, dass [mm] $a_n$ [/mm] auch stets positiv ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Mo 18.12.2006 | | Autor: | philex |
$ [mm] ((a²_n)+1)/2a_n [/mm] $ < [mm] $|a_n| [/mm] $ [mm] |*2a_n
[/mm]
(a²_n)+1 < |2a²_n| |-a²_n
also dein Ergebnis: 1 < $ [mm] |a_n| [/mm] $
ist damit der Betrag auf diese Weise gemeint? darf ich es so hinschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo philex!
Ich hatte doch gar keine Beträge erwähnt oder gar gefordert. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Durch Dein Einfügen der Betragsstriche veränderst Du ja die Ungleichung für die Monotonie.
Mein Hinweis zielte darauf hin, dass Du zunächst die Beschränktheit [mm] $a_n [/mm] \ > \ 1$ zeigst, und dies dann beim Monotonienachweis gleich zweimal nutzt:
1. Bei der Umformung / Multiplikation mit [mm] $2*a_n$ [/mm] .
Denn aus [mm] $a_n [/mm] \ > \ 1$ folgt ja auch unmittelbar [mm] $a_n [/mm] \ > \ 0$ .
2. Als Ergebnis / Bestätigung der Ungleichung [mm] $a_n [/mm] \ > \ [mm] a_{n+1}$ [/mm] und damit auch für die Monotonie.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo philex!
Ganz fertig gemäß max' Antwort bist Du noch nicht. Die Aussage $1 \ < \ [mm] a_n$ [/mm] musst Du auch noch zusätzlich nachweisen (z.B. durch vollständige Induktion), damit Du dann daraus auch die Gültigkeit von $1 \ < \ [mm] a_n$ [/mm] und damit der Monotonie folgern kannst.
Aus der Monotonie in Verbindung mit der Beschränktheit folgt auch automatisch die Konvergenz dieser Folge.
Gruß
Loddar
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