relative Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Mo 19.03.2007 | | Autor: | mase1 |
| Aufgabe | Man untersuche auf relative Extrema:
f: [mm] \IR_{<0}\times\IR_{<0}\to\IR, (x,y)^{T}\mapsto f(x,y)=xy+\bruch{1}{x}+\bruch{8}{y} [/mm] |
Ich komm bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Ich weiß nicht wo ich anfangen soll... Vielleicht könnte mir jemand kurz erläutern, wie ich vorgehen muss!!
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Man untersuche auf relative Extrema:
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> f: [mm]\IR_{<0}\times\IR_{<0}\to\IR, (x,y)^{T}\mapsto f(x,y)=xy+\bruch{1}{x}+\bruch{8}{y}[/mm]
>
Hallo,
hierzu mußt Du den Gradienten der Funktion bestimmen, oder anders gesagt, die partiellen Ableitungen nach x und y.
Wie geht das? Für die part. Abl. nach x leitest Du Deine Funktion nach x ab. y behandelst Du hierbei, als stünde da irgendeine Konstante, z.B. 5.
Für die part. Ableitung nach y leitest Du nach y ab und behandelst x wie eine Konstante.
Ein Beispiel f(x,y)=2xy [mm] +x^2y^4
[/mm]
[mm] f_x(x,y)=2y+2xy^4
[/mm]
[mm] f_y(x,y)=2x+4x^2y^3
[/mm]
Wenn Du das hast, sezt Du die partiellen Ableitungen =0 und errechnst hieraus x und y. Deine Lösungen (x/y) sind die Punkte, an denen Extrema vorliegen könnten. Weitere Untersuchungen müssen ggf. folgen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mo 19.03.2007 | | Autor: | mase1 |
Danke für die schnelle antwort!!
Ich habe jetzt nach x und y aufgelöst und erhalte einmal (0/0) und [mm] (\bruch{1}{2}/4).
[/mm]
der zweite punkt war auch als lösung der aufgabe angegeben.
woran weiß ich denn, dass (0/0) kein extremum ist?
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> Danke für die schnelle antwort!!
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> Ich habe jetzt nach x und y aufgelöst und erhalte einmal
> (0/0) und [mm](\bruch{1}{2}/4).[/mm]
>
> der zweite punkt war auch als lösung der aufgabe
> angegeben.
> woran weiß ich denn, dass (0/0) kein extremum ist?
Guck Dir mal die Funktion an: die ist im Punkt (0/0) gar nicht definiert!
Ich weiß jetzt nicht, wie weit Ihr das mit den Extremwerten treiben sollt. Sollt Ihr nur die kritischen Punkte bestimmen, die Punkte, an welchen Extrema vorliegen können?
Wenn in Deiner Lösung sonst nichts steht, wird das wohl so sein, ansonsten müßte man noch weitermachen mit der Hessematrix, um herauszufinden, ob man Min oder Max hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mo 19.03.2007 | | Autor: | mase1 |
Also in der Lösung steht:
"Im Punkt (1/2, 4) ist ein relatives Minimum"
Ich habe es mal mit der Hesse_matrix probiert, obwohl wir das in der uni nicht behandelt haben. habe dabei folgendes raus:
[mm] D²f(x,y)=\pmat{ \bruch{2}{x^{3}} & 1 \\ 1 & \bruch{16}{y^{3}} }
[/mm]
Dann habe ich den Punkt eingesetzt:
[mm] \pmat{ 16 & 1 \\ 1 & 1/4 }
[/mm]
Und dann würd ich sagen ist die Matrix positiv definit und deshalb ist der punkt ein minimum?
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Ja, so geht das.
Gruß v. Angela
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