relative extrema < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 So 01.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Hallo
folgende Aufgabe: Bestimmen sie die relativen Extrema der Funktion f.
Wir haben in der Schule schon eine dieser Aufgaben gerechnet, allerdings habe ich noch ein paar Probleme.
1) f(x)=- [mm] \bruch{1}{3} x^3+x
[/mm]
Ich mache den Rest jetzt mal ohne Formeleditor, sonst sitz ich morgen noch hier =)
also: Erstmal habe ich die Ableitung ausgerechnet : f'(x)=-x²+1
dann die Nullstellen der Ableitung: 0=-x²+1 --> 1=x² Nullstellen: 1=x und -1=x
Jetzt weiß ich, dass -1 und 1 Extrema der normalen Funktion sein könnten.
Danach habe ich die Stelle x=1 auf Vorzeichenwechsel untersucht, dazu habe ich in die Ableitungsfunktion für x einmal eine Stelle eingesetzt, die höher und einmal eine Stelle die niedriger ist als 1.
f'(0,5) = (-0,5)² +1 f'(1,5)=-(1,5)²+1
--> f'(0,5)=5/4 --> f'(1,5)=-5/4
Das hieße ja, dass ein Vorzeichenwechsel von + zu - vorliegt, also liegt bei der Stelle x= 1 ein maximum vor?
Nun habe ich die Stelle x=-1 auf einen VZW untersucht.
f'(-1,5)=-(-1,5)²+1 f'(-0,5=-(-0,5)²+1
--> f'(-1,5)= -5/4 f'(-0,5)= 3/4
also liegt ein VZW von - zu + vor, also liegt bei der Stelle x=-1 ein minimum vor?
Stimmt das so? Ich bedanke mich für eure Bemühungen!
Danke im vorraus
|
|
| |
|
> Aufgabe: Bestimmen sie die relativen Extrema der
> Funktion f.
>
> 1) f(x)=- [mm]\bruch{1}{3} x^3+x[/mm]
>
> Erstmal habe ich die Ableitung ausgerechnet :
> f'(x)=-x²+1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann die Nullstellen der Ableitung: 0=-x²+1 --> 1=x²
> Nullstellen: 1=x und -1=x
>
> Jetzt weiß ich, dass -1 und 1 Extrema der normalen Funktion
> sein könnten. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Nein; dies sind nicht mögliche Extrema (Extremwerte),
sondern mögliche Extremalstellen !
> Danach habe ich die Stelle x=1 auf Vorzeichenwechsel
> untersucht,
Die Stelle (Zahl) 1 hat sicher keinen Vorzeichenwechsel.
Was du tust: du untersuchst den Vorzeichenwechsel
der Ableitungsfunktion f' beim Durchgang durch die Stelle x=1.
> dazu habe ich in die Ableitungsfunktion für x
> einmal eine Stelle eingesetzt, die höher und einmal eine
> Stelle die niedriger ist als 1.
>
> f'(0,5) = (-0,5)² +1 f'(1,5)=-(1,5)²+1
> --> f'(0,5)=5/4 -->
> f'(1,5)=-5/4
>
> Das hieße ja, dass ein Vorzeichenwechsel von + zu -
> vorliegt, also liegt bei der Stelle x= 1 ein Maximum vor?
Richtig. Die Ableitung ändert sich in dieser Weise.
>
> Nun habe ich die Stelle x=-1 auf einen VZW untersucht.
>
> f'(-1,5)=-(-1,5)²+1 f'(-0,5=-(-0,5)²+1
> --> f'(-1,5)= -5/4 f'(-0,5)= 3/4
>
>
> also liegt ein VZW von - zu + vor, also liegt bei der
> Stelle x=-1 ein Minimum vor?
>
> Stimmt das so?
Ja.
Bei dieser Funktion hättest du auch die Symmetrie
benutzen können. Der Graph von f ist punktsymmetrisch
bezüglich O(0/0). Wenn bei x=1 ein Maximum ange-
nommen wird, nämlich [mm] f(1)=\bruch{2}{3}, [/mm] muss bei x=-1
ein Minimum vorliegen: [mm] f(-1)=-\bruch{2}{3} [/mm] .
Die Angabe dieser Werte (der eigentlichen Extrema!)
gehört natürlich auch zur Aufgabe, denn die (relativen)
Extrema (also hier das relative Maximum [mm] \bruch{2}{3} [/mm] und
das relative Minimum [mm] -\bruch{2}{3}) [/mm] waren ja gefragt.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 01.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Ersteinmal Danke für deine Bemühungen!
Allerdings habe ich noch eine Frage.
Wenn bei x=1 ein Maximum ange-
nommen wird, nämlich $ [mm] f(1)=\bruch{2}{3}, [/mm] $ muss bei x=-1
ein Minimum vorliegen: $ [mm] f(-1)=-\bruch{2}{3} [/mm] $ .
Die Angabe dieser Werte (der eigentlichen Extrema!)
gehört natürlich auch zur Aufgabe, denn die (relativen)
Extrema (also hier das relative Maximum $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $ und
das relative Minimum $ [mm] -\bruch{2}{3}) [/mm] $ waren ja gefragt.
Was ist denn dieses relativ maximum bzw. minimum?!
also wieso ist es bei dieser Aufgabe gerade 2/3 und -2/3??
Danke
|
|
|
| |
|
> Ersteinmal Danke für deine Bemühungen!
>
> Allerdings habe ich noch eine Frage.
>
>
> Wenn bei x=1 ein Maximum ange-
> nommen wird, nämlich [mm]f(1)=\bruch{2}{3},[/mm] muss bei x=-1
> ein Minimum vorliegen: [mm]f(-1)=-\bruch{2}{3}[/mm] .
>
> Die Angabe dieser Werte (der eigentlichen Extrema!)
> gehört natürlich auch zur Aufgabe, denn die (relativen)
> Extrema (also hier das relative Maximum [mm]\bruch{2}{3}[/mm] und
> das relative Minimum [mm]-\bruch{2}{3})[/mm] waren ja gefragt.
>
>
> Was ist denn dieses relativ maximum bzw. minimum?!
> also wieso ist es bei dieser Aufgabe gerade 2/3 und
> -2/3??
Der Funktionswert an der Stelle x=1 ist [mm] y=f(1)=-\,\bruch{1}{3}*1^3+1=\bruch{2}{3} [/mm] .
Da dieser y-Wert grösser ist als alle Werte, die f(x) für
x-Werte nahe bei x=1 annimmt, stellt er ein lokales
Maximum der Funktion f dar. Der Graph von f hat an
der Stelle x=1 einen Hochpunkt [mm] H(1/\bruch{2}{3}).
[/mm]
Merke: Extremalstellen sind x-Werte, Extrema sind y-Werte.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 So 01.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Okay. Das habe ich verstanden, DANKE!
Jetzt habe ich nurnoch eine Frage:
Es ist aber richtig, dass ich in die Ableitungsfunktion eine Zahl für x einsetze die höher als die Nullstelle ist und eine die niedriger ist, um zu schaun ob ein VZW stattindet, und wenn ja, in welche richtung oder?
In der Schule habe ich mir das ein bisschen verwirrend mitgeschrieben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 So 01.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja. Das ist die einfachste Methode um zu gucken, ob ein VZW stattfindet oder nicht. Man muss da aber dann immer aufpassen, weil man im Allgemeinen nicht irgendeine "größere" und "kleinere" Zahl einsetzten darf:
Wenn man zB eine Ableitungsfunkttion hat, die die Nullstellen 0 und 1 hat, dann könnte man zB für den VZW um die Nullstelle 1 nicht die -2 einsetzen, weil dazwischen ja noch die nächste Nullstelle 0 liegt...D.h. zwischen deiner "Testzahl" und deiner Nullstelle sollte keine nächste Nullstelle liegen.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 So 01.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Hallo
folgende Aufgabe: Bestimmen sie die relativen Extrema der Funktion f.
2) f(x) = 1/6x³+2x
Ableiten: f'(x)=1/2x²+2
Das heißt ja, dass diese Funktion keine Nullstellen besitzt ( nach oben geöffnet und um 2 punkte auf der y Achse nach oben verschoben). Dann kann man die extrema nicht bestimmen oder?
Danke im vorraus
|
|
|
| |
|
Hallo, du meinst sicherlich, die 1. Ableitung besitzt keine Nullstelle, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 So 01.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
ups, Tippfehler
natürlich meine ich die erste Ableitung, die keine Nullstellen hat. Aber deren Nullstellen benötige ich ja. also ist die Aufgabe SO nicht zu lösen?
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 01.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
doch, die Aufgabe ist zu lösen.
Du hast ja eine Funktion, die keine Nullstelle hat. Dann ist die Antwort auf die Frage, welche Extrema es gibt doch, dass es keine gibt, da [mm] $f'(x)\not= [/mm] 0$ für alle beliebigen x.
Wenn du dir deine Funktion plotten lässt oder die zeichnest, siehst du auch, dass es keine Extrema gibt.
LG
Kroni
|
|
|
|
