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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Mi 23.03.2005 | | Autor: | birdy |
Ich muss den Rotationskörper der Funktion f(x) = [mm] \bruch{ 2\*e^{2\*x}}{e^{2\*x}+4} [/mm] berechnen
mein Ansatz: [mm] \pi\integral_{2}^{0} {f(x)^{2.} dx}
[/mm]
Frage: stimmt es, dass ich [mm] \pi [/mm] davor setzen muss (rotiert ja um x-Achse) und deshalb auch [mm] f(x)^{2.} [/mm] ?
und da ich immer nicht genau weiß, was ich kürzen darf, kann man den Term irgendwie veeifachen, so dass [mm] 2\*e^{2\*x} [/mm] aus dem Zähler verschwindet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Mi 23.03.2005 | | Autor: | birdy |
f wird für [mm] x\ge [/mm] 2 verglichen mit einer Funktion h, die dort durch
h(x)= [mm] 2-8\* e^{-2\* x} [/mm] gegeben ist
nun muss ich zeigen, dass der Unterschied zwischen den Funktionswerten monoton fällt und wie groß er max wird....
Ansatz: u(x)= f(x)- h(x)
leider reicht mein Grundwissen nicht aus um die Funktionen so umzuformen, dass ich weiterrechnen kann... help!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Birdy!
> f wird für [mm]x\ge[/mm] 2 verglichen mit einer Funktion h, die dort
> durch
> h(x)= [mm]2-8\* e^{-2\* x}[/mm] gegeben ist
> nun muss ich zeigen, dass der Unterschied zwischen den
> Funktionswerten monoton fällt und wie groß er max
> wird....
>
> Ansatz: u(x)= f(x)- h(x)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Im Grunde kannst Du auch einfach so weiterrechnen, indem Du für $f(x)$ bzw. $h(x)$ die entsprechenden Funktionsvorschriften einsetzt:
$u(x) \ = \ f(x) - h(x) \ = \ [mm] \bruch{2*e^{2x}}{e^{2x}+4} [/mm] - [mm] \left(2 - 8*e^{-2x}\right)$
[/mm]
Du kannst natürlich auch alles auf einen Bruch zusammenfassen. Dafür mußt Du den hinteren Ausdruck mit dem Hauptnenner [mm] $e^{2x}+4$ [/mm] erweitern und anschließend den Zähler zusammenfassen. Bei mir hat dieser sich dann deutlich vereinfacht.
Für die "fallende Monotonie" kannst Du zeigen: $u'(x) \ [mm] \le [/mm] \ 0$
Gruß
Loddar
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Hi, birdy,
Loddars Ausführungen sind natürlich - wie immer - richtig!
Und da die Differenzfunktion (auch ich würde diese zu einem einzigen Bruchterm umformen) tatsächlich echt monoton fällt, muss das Maximum logischerweise am linken Rand, also bei x=2 liegen.
Der Funktionswert d(2) = f(2)-h(2) beträgt bei mir etwa 0,01.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Marcel,
na warte! Ich verbünde mich jetzt mit Loddar, und dann: Wehe Dir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Loddar |
... Unterstützung!
Danke Dir schon mal im voraus Zwerglein ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 23.03.2005 | | Autor: | delee |
hi,
es ist sogar sicher so, dass du vor das integral das [mm] \pi [/mm] setzen musst
und die gesamte funktion quadrieren musst
schau nach dem quadrieren mal, ob du kürzen kannst.
hab jetzt leider ned so viel zeit um selbst zu schaun
gruß lee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber birdy
> Ich muss den Rotationskörper der Funktion f(x) = [mm]\bruch{ 2\*e^{2\*x}}{e^{2\*x}+4}[/mm]
> berechnen
>
> mein Ansatz: [mm]\pi\integral_{2}^{0} {f(x)^{2.} dx}
[/mm]
>
Im Prinzip gut, nur die Integrationsgrenzen machen mir noch etwas Bauchweh. Sollte nicht die Null unten stehen, die Zwei oben? Offenbar musst du den Körper berechnen in den Grenzen x=0 bis x=2 ?
>
> Frage: stimmt es, dass ich [mm]\pi[/mm] davor setzen muss (rotiert
> ja um x-Achse) und deshalb auch [mm]f(x)^{2.}[/mm] ?
>
Ja klar. Wenn du einmal die Rotationsfigur an einem bestimmten Punkt betrachtest, dann wird doch ein Kreis in den Raum gezeichnet, mit Radius f(x). Und die Kreisfläche ist ja [mm] $\pi r^2$, [/mm] also [mm] $\pi f(x)^2$.
[/mm]
Eine dünne Kreisscheibe hat also das Volumen [mm] $\pi f(x)^2*dx$
[/mm]
Diese Kreisscheiben musst du ja einfach aufsummieren, sprich ich diesem Falle: integrieren.
> und da ich immer nicht genau weiß, was ich kürzen darf,
> kann man den Term irgendwie veeifachen, so dass [mm]2\*e^{2\*x}[/mm]
> aus dem Zähler verschwindet?
>
Da kannst du kaum etwa wegkürzen. Ich würde es eher mit der Substitution [mm] $u:=e^{2x}$ [/mm] versuchen! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hi, birdy,
> Ich muss den Rotationskörper der Funktion f(x) = [mm]\bruch{ 2\*e^{2\*x}}{e^{2\*x}+4}[/mm]
> berechnen
>
> mein Ansatz: [mm]\pi\integral_{2}^{0} {f(x)^{2.} dx}
[/mm]
Frage meinerseits: Warum sind die Integrationsgrenzen vertauscht?
Liegt der Sinn in der Aufgabenstellung? Ich stell's mal "richtig"! (siehe unten!)
>
> und da ich immer nicht genau weiß, was ich kürzen darf,
> kann man den Term irgendwie vereinfachen, so dass [mm]2\*e^{2\*x}[/mm]
> aus dem Zähler verschwindet?
Da läge in diesem Fall kein Sinn drin!
Wie Paulus schon geschrieben hat, musst Du hier mit Substitution rangehen. Ich würde allerdings gleich z = [mm] e^{2x}+4 [/mm] substituieren.
Dann ergibt sich: [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] 2e^{2x} [/mm] oder: dx = [mm] \bruch{dz}{2e^{2x}}.
[/mm]
Da wir's später brauchen, schreib' ich auch gleich noch: [mm] e^{2x} [/mm] = z - 4
und die Grenzen: Aus x=0 wird z=4 und aus x=2 wird [mm] z=e^{4}+4.
[/mm]
Also: [mm] \pi*\integral_{0}^{2} {\bruch{4e^{4x}}{(e^{2x}+4)^{2}} dx}
[/mm]
= [mm] \pi*\integral_{4}^{e^{4}+4} {\bruch{4e^{4x}}{z^{2}}*\bruch{dz}{2e^{2x}}}
[/mm]
Nun wird erst mal gekürzt:
[mm] \pi*\integral_{4}^{e^{4}+4} {\bruch{2e^{2x}}{z^{2}}*dz}
[/mm]
Und dann noch [mm] e^{2x} [/mm] = z - 4 eingesetzt:
[mm] \pi*\integral_{4}^{e^{4}+4} {\bruch{2*(z-4)}{z^{2}}*dz}
[/mm]
Der weitere Weg ist nun einfach:
= 2* [mm] \pi*\integral_{4}^{e^{4}+4}{(z-4)*z^{-2}*dz}
[/mm]
= 2* [mm] \pi*\integral_{4}^{e^{4}+4}{(z^{-1}-4*z^{-2})*dz}
[/mm]
So! Den Rest schaffst Du selbst!
(Und übrigens: Alles nachrechnen, nachvollziehen, drüber nachdenken!
Garantie für Leichtsinnsfehler geb' ich nicht!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Mi 23.03.2005 | | Autor: | birdy |
Danke, ich lass es mir nochmal durch den Kopf gehn.... ich glaub ich kanns nachvollziehen
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![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]"){kind=small}
...)!
![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
. Und wehe, ich lese sowas nochmal:
![[auslach]](/images/smileys/auslach.gif "[auslach]"){kind=small}
![[fechtduell]](/images/smileys/fechtduell.gif "[fechtduell]"){kind=small}
![[hideingbehindcomputer]](/images/smileys/hideingbehindcomputer.gif "[hideingbehindcomputer]"){kind=small}
. Ähm, ich hau mal lieber schnell ab ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]"){kind=small}
... ![[totlach]](/images/smileys/totlach.gif "[totlach]"){kind=small}
