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| Aufgabe | | Beim dreihundertmaligen Werfen des ersten Tesutwürfels erscheint 70mal die Augenzahl 6. Bewerten Sie mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten der sigma-Umgebung die Güte des Würfels. |
Hi Leute ,
also folgendes:
n=300 , [mm] p=\bruch{1}{6} [/mm] , q= [mm] \bruch{5}{6}
[/mm]
Also habe ich erst den Erwartungswert berechnet der 50 ist.
Danach die Standartabweichung die bei 6,45497 liegt.
Da 70mal die 6 gewürfelt wurde , weicht der Wert um 20 vom Erwartungswert ab.
Wenn ich [mm] \bruch{20}{6,45} [/mm] = 3,09 berechne , weiß ich das die Umgebung
[mm] P(\mu-3,09*\sigma \le [/mm] X [mm] \le \mu+3,09*\sigma) [/mm] ist.
In der Formelsammlung steht für die 3 [mm] \sigma [/mm] Umgebung die Wahrscheinlichkeit von 99,7% , ich wüsste jetzt nicht was ich daraus folgern sollte.
In der Lösung wird folgendermaßen argumentiert:
Bei einer n-stufigen Bernoulli-Kette liegen bei großen n die beobachteten Werte zu :
rund 90% im Intervall [mm] \mu-1,64\sigma [/mm] ; [mm] \mu+1,64\sigma [/mm]
rund 95% im Intervall [mm] \mu-1,96\sigma [/mm] ; [mm] \mu+1,96\sigma [/mm]
mehr als 99% im Intervall [mm] \mu-2,58\sigma [/mm] ; [mm] \mu+2,58\sigma [/mm]
Der beobachtete Wert liegt bei 3,1 Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt und damit außerhalb des 2,58 [mm] \sigma [/mm] Intervalls. Eine so große Abweichung vom Erwartungswert ist bei einem homogenen Würfel sehr unwahrscheinlich und wird als hochsignifikant bezeichnet. An der Homogenität des Würfels ist zu zweifeln.
Bei dieser Lösung stellt sich mir die Frage , wieso genau diese [mm] \sigma-Umgebung [/mm] genutzt wird. Und ob meine Lösung auch richtig ist ?
Liebe grüßen und schon mal danke für eine Antwort !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Mi 17.03.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Morgen,
70mal die Augenzahl 6 bei dreihundertmaligen Werfen eines Testwürfels weicht um mehr als dreimal die Standardabweichung vom Erwartungswert für die Augenzahl 6 bei 300 maligem Werfen ab.
Das passiert selten,
rund einmal in 100 Fällen,
wenn der Würfel homogen ist.
Man kann bei diesem Ergebnis (70mal die Augenzahl 6) berechtigt zweifeln, dass der Würfel homogen ist.
Zu deiner Frage:
man hat die (krumme) Zahl [mm] $2.58\*\sigma$ [/mm] wohl deshalb gewählt,
um auf exakt [mm] $99\%$ [/mm] Wahrscheinlichkeit zu kommen.
Deine Lösung mit [mm] $3\*\sigma$ [/mm] und [mm] $99.7\%$ [/mm] Wahrscheinlichkeit ist auch richtig, sogar genauer.
Der Schluß ist in beiden Fällen aber derselbe:
"Bei einem homogenen Würfel passiert in höchstens [mm] $1\%$ ($1\%\ [/mm] =\ [mm] 100\% -99\%$) [/mm] der Versuche mit 300 maligem Werfen,
daß 70mal die Augenzahl 6 erscheint."
Vulgo: "Vermutlich ist der Würfel gezinkt."
Schönen Gruß
Karsten
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