sigma-endlich < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:43 Sa 20.05.2006 | | Autor: | c.t. |
Hallo,
ich bearbeite gerade meine Vorlesung nach und bin beim Beweis des Satzes von Radon-Nikodym auf ein Verständnisproblem gestoßen:
da wird an einer Stelle die folgende äquivalente Aussage benutzt:
" [mm] \mu [/mm] ist ein sigma-endliches Maß [mm] \gdw [/mm] es ex. eine [mm] \mu [/mm] - integrierbare Funktion h: (X, [mm] \mathcal{A}) \to (\IR, [/mm] IB) auf X mit 0< h(w)<1 für alle w [mm] \in [/mm] X
Diese Aussage wurde in der Vorlesung mit der Bemerkung "Beweis einfach" für gültig erklärt, leider finde ich jetzt nach nun etwa 3h diesen Beweis nicht. Es wäre schon, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.
Die Frage wurde in keinen anderen Internetforum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo c.t.,
> " [mm]\mu[/mm] ist ein sigma-endliches Maß [mm]\gdw[/mm] es ex. eine [mm]\mu[/mm] -
> integrierbare Funktion h: (X, [mm]\mathcal{A}) \to (\IR,[/mm] IB)
> auf X mit 0< h(w)<1 für alle w [mm]\in[/mm] X
>
> Diese Aussage wurde in der Vorlesung mit der Bemerkung
> "Beweis einfach" für gültig erklärt, leider finde ich jetzt
> nach nun etwa 3h diesen Beweis nicht. Es wäre schon, wenn
> mir da jemand weiter helfen könnte.
Schreib doch mal die Definition von [mm] $\mu$-integrierbar [/mm] auf.
Fuer die eine Richtung [mm] ($\Leftrightarrow$) [/mm] bietet es sich sicher an, gewisse Urbilder von [mm] $\mu$ [/mm] als Menge zu nehmen, etwa [mm] $\mu^{-1}[0, \frac{1}{n}]$, [/mm] $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Sa 20.05.2006 | | Autor: | c.t. |
erstmal vielen Dank für deine Mühe felixf
Leider ist in den letzten 4h nichts klarer geworden :-(
h ist [mm] \mu-intbar \gdw [/mm] der Positivteil und Negativteil < [mm] \infty [/mm] ist.
Für die Hinrichtung habe ich bis jetzt:
[mm] \mu [/mm] sigma-endlich [mm] \Rightarrow [/mm] es ex. Folge [mm] (A_{n})_{n \in \IN} \subset \mathcal{A} [/mm] mit [mm] \mu(A_{n}< \infty [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und X [mm] \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}
[/mm]
Def. nun h´:= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}1_{A_{n}}. [/mm] Dann ist h´ zumindest schonmal [mm] \mu-intbar.
[/mm]
allerdings bekomme ich dann h´ nicht so, wie´s sein soll.
Bei der Rückrichtung habe ich jetzt also ein solches h und muss zeigen: es ex. Folge [mm] (A_{n})_{n \in \IN} \subset \mathcal{A} [/mm] mit [mm] \mu(A_{n}< \infty [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und X [mm] \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}
[/mm]
h= [mm] h^{+}-h^{-}< \infty, [/mm] 0<h(w)<1 für alle [mm] w\in [/mm] X
Sei [mm] (A_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge in [mm] \mathcal{A} [/mm] mit X [mm] \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}, [/mm] zu zeigen: [mm] \mu(A_{n})< \infty [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Ich definiere [mm] (A_{n}) [/mm] weiter so, dass h(w) [mm] \in [0,\bruch{1}{n}] [/mm] für alle w [mm] \in A_{n}. [/mm] dann ist ja X [mm] \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] erfüllt.
Jetzt gilt: [mm] \mu^{-1} [/mm] ist ein Borel-Maß [mm] \Rightarrow \mu^{-1}([0,\bruch{1}{n}]) [/mm] < [mm] \infty [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] weil [mm] [0,\bruch{1}{n}] [/mm] kompakt
[mm] \Rightarrow \mu^{-1} [/mm] ist sigma-endlich.
Aber ich soll doch zeigen, dass [mm] \mu [/mm] sigma-endlich ist und dafür hatten wir keinen Satz :-(
Mir fehlen also für beide Richtungen noch die entscheidenden Ideen; es wäre schön, wenn mir das erklärt werden könnte
danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo c.t.!
> Leider ist in den letzten 4h nichts klarer geworden :-(
>
> h ist [mm]\mu-intbar \gdw[/mm] der Positivteil und Negativteil <
> [mm]\infty[/mm] ist.
Du meinst die Integrale ueber Positiv- und Negativteil sind endlich?
> Für die Hinrichtung habe ich bis jetzt:
>
> [mm]\mu[/mm] sigma-endlich [mm]\Rightarrow[/mm] es ex. Folge [mm](A_{n})_{n \in \IN} \subset \mathcal{A}[/mm]
> mit [mm]\mu(A_{n}< \infty[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm] und X [mm]\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}[/mm]
>
> Def. nun h´:= [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}1_{A_{n}}.[/mm] Dann
> ist h´ zumindest schonmal [mm]\mu-intbar.[/mm]
Das haengt stark von der Wahl der [mm] $a_n$ [/mm] ab. Die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n \mu(A_n)$ [/mm] sollte schon konvergieren...
> allerdings bekomme ich dann h´ nicht so, wie´s sein soll.
Wieso? Du musst einfach nur die Koeffizienten [mm] $a_i$ [/mm] anpassen so, dass $0 < [mm] a_i [/mm] < 1$ ist und [mm] $\sum_{i=1}^\infty a_i [/mm] < 1$ ist. Dann gilt auf jeden Fall $0 < h'(x) < 1$ fuer alle $x$.
> Bei der Rückrichtung habe ich jetzt also ein solches h und
> muss zeigen: es ex. Folge [mm](A_{n})_{n \in \IN} \subset \mathcal{A}[/mm]
> mit [mm]\mu(A_{n}< \infty[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm] und X [mm]\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}[/mm]
Mit ``Urbilder von [mm] $\mu$'' [/mm] meinte ich vorhin ``Urbilder von $h$'', sorry!
Schau dir doch mal an, wie das [mm] $\mu$-Integral [/mm] der Funktion $h$ definiert ist: Du approximierst mit Treppenfunktionen!
Nimm etwa [mm] $A_n [/mm] := [mm] h^{-1}\left(\left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right[\right)$. [/mm] Dann ist ja einmal [mm] $\bigcup A_n [/mm] = [mm] h^{-1}\left(\left]0, 1\right[\right) [/mm] = X$.
Weiterhin kannst du das Integral [mm] $\int [/mm] h [mm] \; d\mu$ [/mm] jetzt nach unten abschaetzen, indem du $h$ geschickt nach unten abschaetzt. Auf [mm] $A_n$ [/mm] ist ja $h [mm] \ge \frac{1}{n+1}$... [/mm] Bekommst du jetzt eine Idee?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Sa 20.05.2006 | | Autor: | c.t. |
also, um schon mal die Hinrichtung abzuschließen:
wenn ich jetzt mein h= [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{i}1_{A_{i}} [/mm] definiert habe, dann kann ich ja eigendlich wirklich beliebig genau bzgl. der weiteren Darstellung von h werden, denn ich muss ja nur ein solches h finden.
Ich definiere also weiter [mm] 0
hier fällt mir übrigens gerade keine Reihe ein, die das erfüllt, vielleicht kennst du ein Beispiel? Aber reicht das schon, ist damit h genau bestimmt, oder sollte man wirklich konkret bzgl. der [mm] a_{i} [/mm] werden?
letztendlich habe ich dann also 0<h<1 für alle w [mm] \in [/mm] X
und h ist tatsächlich intbar(warum schreib ich nicht, das ist uns beiden ja klar)
Für die Rückrichtung brauch ich noch ein paar Minuten, aber ich hoffe du kannst die letzte Frage bzgl. der Hinrichtung beantworten, bitte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo c.t.!
> also, um schon mal die Hinrichtung abzuschließen:
>
>
> wenn ich jetzt mein h= [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{i}1_{A_{i}}[/mm]
> definiert habe, dann kann ich ja eigendlich wirklich
> beliebig genau bzgl. der weiteren Darstellung von h werden,
> denn ich muss ja nur ein solches h finden.
> Ich definiere also weiter [mm]0
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{i}<1.[/mm]
Das reicht nicht aus, damit $h$ [mm] $\mu$-integrierbar [/mm] ist! Das [mm] $\mu$-Integral [/mm] von $h$ ist ja grad [mm] $\int h\; d\mu [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^\infty a_i \mu(A_i)$. [/mm] Und das muss noch lange nicht konvergieren, nur weil [mm] $\sum a_i [/mm] < 1$ ist...
> hier fällt mir übrigens gerade keine Reihe ein, die das
> erfüllt, vielleicht kennst du ein Beispiel? Aber reicht das
> schon, ist damit h genau bestimmt, oder sollte man wirklich
> konkret bzgl. der [mm]a_{i}[/mm] werden?
Nimm [mm] $b_i [/mm] > 0$ so, dass [mm] $\sum b_i$ [/mm] konvergiert (etwa [mm] $b_i [/mm] = [mm] 2^{-i}$). [/mm] Setze $b := [mm] \sum b_i$ [/mm] (Grenzwert der Reihe; hier $b = 1$ fuer [mm] $b_i [/mm] = [mm] 2^{-i}$) [/mm] und [mm] $a_i [/mm] := [mm] \frac{b_i}{2 b}$. [/mm] Dann ist [mm] $\sum a_i [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] < 1$ und [mm] $a_i [/mm] > 0$ fuer alle $i$...
Jetzt musst du nur noch die [mm] $\mu(A_i)$ [/mm] da mit drinnen unterbringen...
> letztendlich habe ich dann also 0<h<1 für alle w [mm]\in[/mm] X
Ja.
> und h ist tatsächlich intbar(warum schreib ich nicht, das
> ist uns beiden ja klar)
Siehe oben 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Sa 20.05.2006 | | Autor: | c.t. |
> Hallo c.t.!
>
Hallo!
>
> Schau dir doch mal an, wie das [mm]\mu[/mm]-Integral der Funktion [mm]h[/mm]
> definiert ist: Du approximierst mit Treppenfunktionen!
>
> Nimm etwa [mm]A_n := h^{-1}\left(\left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right[\right)[/mm].
> Dann ist ja einmal [mm]\bigcup A_n = h^{-1}\left(\left]0, 1\right[\right) = X[/mm].
>
> Weiterhin kannst du das Integral [mm]\int h \; d\mu[/mm] jetzt nach
> unten abschaetzen, indem du [mm]h[/mm] geschickt nach unten
> abschaetzt. Auf [mm]A_n[/mm] ist ja [mm]h \ge \frac{1}{n+1}[/mm]... Bekommst
> du jetzt eine Idee?
>
allerdings nicht. Das mag auch an der späten Stunde liegen. Jedenfalls erkenne ich gerade nicht den Nutzen der Abschätzung, denn dass das Integral beschränkt ist, weiß ich ja eh, weil es [mm] \mu-intbar [/mm] ist.
Die Hinrichtung folgt doch, weil [mm] \mu(A_{n}) [/mm] endlich ist für alle n, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo c.t.!
> > Schau dir doch mal an, wie das [mm]\mu[/mm]-Integral der Funktion [mm]h[/mm]
> > definiert ist: Du approximierst mit Treppenfunktionen!
> >
> > Nimm etwa [mm]A_n := h^{-1}\left(\left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right[\right)[/mm].
> > Dann ist ja einmal [mm]\bigcup A_n = h^{-1}\left(\left]0, 1\right[\right) = X[/mm].
>
> >
> > Weiterhin kannst du das Integral [mm]\int h \; d\mu[/mm] jetzt nach
> > unten abschaetzen, indem du [mm]h[/mm] geschickt nach unten
> > abschaetzt. Auf [mm]A_n[/mm] ist ja [mm]h \ge \frac{1}{n+1}[/mm]... Bekommst
> > du jetzt eine Idee?
> >
>
> allerdings nicht. Das mag auch an der späten Stunde liegen.
> Jedenfalls erkenne ich gerade nicht den Nutzen der
> Abschätzung, denn dass das Integral beschränkt ist, weiß
> ich ja eh, weil es [mm]\mu-intbar[/mm] ist.
Du musst zeigen, dass [mm] $\mu(A_n)$ [/mm] endlich ist. Wenn du das auch ohne Abschaetzung machen kannst, auch ok :)
> Die Hinrichtung folgt doch, weil [mm]\mu(A_{n})[/mm] endlich ist für
> alle n, oder?
Ja. Woraus soll sie denn auch sonst folgen? :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Sa 20.05.2006 | | Autor: | c.t. |
ok,
danke! Die feinsten Feinheiten füg ich dann morgen zusammen. Dann ist der Abend ja gerettet und das Sandmännchen kann mir jetzt Sand in die Augen streuen
danke noch mal für die Geduld
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 22.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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