singulär Eigwert < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 So 01.05.2005 | | Autor: | Marianne |
Hallo Ihr!!!
Ich habe diese Frage:
Wie kann man beweisen, dass eine Matrix singulär ist, wenn ein Eigenwert von der Matrix Null ist.
Ich hab keine sooo richtige Ahnung wie das zu machen ist.
Ich hab nur so den Ansatz, dass bei singulär (also nich inverteirbar): det [mm] (a*I_{n}-A) [/mm] A--Abbildungsmatrix, a--Eigenwert, [mm] I_{n}--Einheitsmatrix
[/mm]
Naja, aber davon dann auf die Behauptng oben??
Naja, danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 So 01.05.2005 | | Autor: | Jay-G |
Hallo!
Also du bringst die matrix auf obere Dreiecksform (mit Umformungen die die determinante invariant lassen).
Dann siehst du die EW auf der Diagonalen. Da 0 EW ist ist die determinante gleich null (Det bei ob Dreiecksmatrix= Produkt der Diagonalelemente)
Also ist die matrix singulär.
Oder etwas naiver.
Stell dir vor du suchst die Umkehrabbildung zur Matrix.
Dann hast du ja einen Eigenvektor der auf die Null geworfen wird von der ursprl. Matrix. Also muss die 0 theoretisch mit der umkehrabb auf diesen Eiugenvektor geworfen werden. Das geht aber nicht, denn 0 wird immer uf die 0 geworfen bei einer lin. Abb. Also ist das nicht so gut, sprich es kann nicht bijektiv sein. Also nix gut.
MFG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:17 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo,
es ist schon spät und ich mag etwas übersehen, aber:
0 ist EW [mm] $\Rightarrow\, [/mm] det(A-0*I)=0$ oder eben $det(A)=0$ ??
also ist der Ansatz von Marianne doch echt klasse, oder?
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Jay-G |
Hi!
Ja stimmt, du meinst also der Eigenvektor v zum EW null ist im Kern von (A-0*Id) =kern (A), also ist das bild nicht mehr der ganze Vektorraum, also det A =0.
Ja so hab ich das nicht betrachtet, ist natürlich sehr gut, dann steht die lösung praktisch sofort vor einem.
MFG
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