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| Aufgabe | Die Funktionen sinh,cosh :R--> R seien definiert durch sinh(x) = 1/2 [mm] (e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x}), [/mm] cosh(x) = 1/2 [mm] ((e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x}).
[/mm]
Sei f: R--> R, f(x) = sinh(x). Zeigen Sie, dass f bijektiv ist und dass die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] von f gegeben ist durch [mm] f^{-1}(x) [/mm] = log (x + [mm] \wurzel[2]{x² + 1}) [/mm] ( [mm] x\in [/mm] R) |
Hey,
mein problem ist, dass ich Analysis belegt habe ohne zuvor die Lineare Algebra besucht zu haben..., deshalb weiß ich nicht wirklich was bijektiv bedeutet, geschweigedenn wie ich so etwas nachweisen kann...
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> Die Funktionen sinh,cosh :R--> R seien definiert durch
> sinh(x) = 1/2 [mm](e^{x}[/mm] - [mm]e^{-x}),[/mm] cosh(x) = 1/2 [mm]((e^{x}[/mm] +
> [mm]e^{-x}).[/mm]
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> Sei f: R--> R, f(x) = sinh(x). Zeigen Sie, dass f bijektiv
> ist und dass die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}[/mm] von f gegeben ist
> durch [mm]f^{-1}(x)[/mm] = log (x + [mm]\wurzel[2]{x² + 1})[/mm] ( [mm]x\in[/mm] R)
Hallo MissPocahontas,
der Begriff "bijektiv" bedeutet "umkehrbar eindeutig"
und kommt natürlich auch in der Analysis vor. Du
musst zeigen, dass die sinh-Funktion umkehrbar
eindeutig ist (dass also bei ihr jeder y-Wert nur
einmal vorkommen kann). Skizziere dir mal den
Graph der Funktion, dann siehst du, dass diese
Funktion offenbar durchwegs streng monoton
steigend ist. Dass dies so ist, musst du beweisen.
Tipp: Ableitung betrachten.
Um die Formel für die Umkehrfunktion (ich nenne sie g)
zu bestätigen, musst du im Prinzip nur die eine Formel
in die andere einsetzen und bestätigen, dass
$\ g(sinh(x))=x$ bzw. $\ sinh(g(x))=x$
LG
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dankeschön> > Die Funktionen sinh,cosh :R--> R seien definiert durch
> > sinh(x) = 1/2 [mm](e^{x}[/mm] - [mm]e^{-x}),[/mm] cosh(x) = 1/2 [mm]((e^{x}[/mm] +
> > [mm]e^{-x}).[/mm]
> >
> > Sei f: R--> R, f(x) = sinh(x). Zeigen Sie, dass f bijektiv
> > ist und dass die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}[/mm] von f gegeben ist
> > durch [mm]f^{-1}(x)[/mm] = log (x + [mm]\wurzel[2]{x² + 1})[/mm] ( [mm]x\in[/mm] R)
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> Hallo MissPocahontas,
>
> der Begriff "bijektiv" bedeutet "umkehrbar eindeutig"
> und kommt natürlich auch in der Analysis vor. Du
> musst zeigen, dass die sinh-Funktion umkehrbar
> eindeutig ist (dass also bei ihr jeder y-Wert nur
> einmal vorkommen kann). Skizziere dir mal den
> Graph der Funktion, dann siehst du, dass diese
> Funktion offenbar durchwegs streng monoton
> steigend ist. Dass dies so ist, musst du beweisen.
> Tipp: Ableitung betrachten.
> Um die Formel für die Umkehrfunktion (ich nenne sie g)
> zu bestätigen, musst du im Prinzip nur die eine Formel
> in die andere einsetzen und bestätigen, dass
>
> [mm]\ g(sinh(x))=x[/mm] bzw. [mm]\ sinh(g(x))=x[/mm]
>
> LG
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