sinh(z), cosh(z) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Fr 16.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Die hyperbolischen funktionen sind definiert durch:
[mm] cosh(z)=\bruch{e^z + e^{-z}}{2}, sinh(z)=\bruch{e^z - e^{-z}}{2}
[/mm]
a) Stelle sinh(z9, cosh(z) als Potenzreihen da.
b) Zeige:
cosh(z)= cos(iz) , sinh(z)0 -i sin(iz)
[mm] cosh^2 [/mm] (z) - [mm] sinh^2 [/mm] (z) = 1
cosh(z+w)= cosh(z)cosh(w) + sinh(z)sinh(w)
sinh(z+w)= finde analoge formel |
Hallo, mir soll es erstmal nur um a) gehen. Mein problem ist, dass wir dazu bis jetzt fast nichts gemacht haben.
ich kenne nur die reihenentwicklung von sinus und cosinus. diese haben wir allerdings nicht bewiesen sondern einfach hingeschrieben. Von z.B. Wikipedia weiß ich auch schon was rauskommen muss, aber der weg is mir völlig schleierhaft.
evt. können wir das zusammen am bsp. von cos(z) mal durchgehen?!
Ich weiß [mm] cos(z):=\bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2}
[/mm]
sowie [mm] e^{iz}=cos(z) [/mm] + i*sin(z) [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC
[/mm]
damit kann ich ja eigentlich noch nichts anfangen außer das ich weiß
[mm] cos(z)=e^{iz}+ [/mm] i*sin(z)
hab im netz auch gefunden das das mit taylor bewiesen werden kann, das hatten wir allerdings auch noch nicht.
hat evt. jemand von euch ne idee wie das klappen könnte?
danke im vorraus,
die Maxi
|
|
| |
|
> Die hyperbolischen funktionen sind definiert durch:
>
> [mm]cosh(z)=\bruch{e^z + e^{-z}}{2},\qquad sinh(z)=\bruch{e^z - e^{-z}}{2}[/mm]
>
> a) Stelle sinh(z), cosh(z) als Potenzreihen da.
>
> b) Zeige:
>
> cosh(z)= cos(iz) , sinh(z)0 -i sin(iz)
> [mm]cosh^2[/mm] (z) - [mm]sinh^2[/mm] (z) = 1
> cosh(z+w)= cosh(z)cosh(w) + sinh(z)sinh(w)
> sinh(z+w)= finde analoge formel
> Hallo, mir soll es erstmal nur um a) gehen. Mein problem
> ist, dass wir dazu bis jetzt fast nichts gemacht haben.
>
> ich kenne nur die reihenentwicklung von sinus und cosinus.
> diese haben wir allerdings nicht bewiesen sondern einfach
> hingeschrieben. Von z.B. Wikipedia weiß ich auch schon was
> rauskommen muss, aber der weg is mir völlig schleierhaft.
>
> evt. können wir das zusammen am bsp. von cos(z) mal
> durchgehen?!
O.K., schauen wir mal:
Gehen wir zuerst von einer Polynomfunktion f aus:
$\ f(x)= [mm] a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+a_4*x^4+.....a_n*x^n$
[/mm]
Ableitungen:
$\ f'(x)= [mm] a_1+2*a_2*x+3*a_3*x^2+4*a_4*x^3+.....+n*a_n*x^{n-1}$
[/mm]
$\ f''(x)= [mm] 2*a_2+6*a_3*x+12*a_4*x^2+.....+n*(n-1)*a_n*x^{n-2}$
[/mm]
$\ f'''(x)= [mm] 6*a_3+24*a_4*x+.....+n*(n-1)*(n-2)*a_n*x^{n-3}$
[/mm]
$\ f''''(x)= [mm] 24*a_4+.....+n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*a_n*x^{n-4}$
[/mm]
....... etc. .......
$\ [mm] f^{(n)}(x)=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)* [/mm] ..... [mm] *3*2*1*a_n =n!*a_n$
[/mm]
Setzt man in f und in alle diese Ableitungen für x den
Wert 0 ein, so sieht man:
$\ [mm] f(0)=a_0\qquad f'(0)=a_1\qquad f''(0)=2*a_2\qquad f'''(0)=6*a_3\qquad [/mm] etc.\ \ [mm] .......\quad f^{(n)}(0) =n!*a_n$
[/mm]
oder allgemein: [mm] f^{(k)}(0) =k!*a_k [/mm] für alle [mm] k\in\{0, 1, 2, ..... , n\}
[/mm]
Alle Ableitungen an der Stelle x=0 können also ganz
leicht aus den Koeffizienten des Polynoms berechnet
werden, oder auch umgekehrt: Aus der k-ten Ableitung
an der Stelle x=0 erhält man den k-ten Koeffizienten
des Polynoms wie folgt:
[mm] a_k=\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}
[/mm]
Eigentlich ist also die gesamte Funktion f vollkommen
festgelegt, wenn man nur ihren Funktionswert und
alle ihre Ableitungswerte bei x=0 kennt.
Interessanterweise gilt dies nun z.B. auch für solche
Funktionen wie die Exponentialfunktion, die Sinus- und
die Cosinusfunktion. Dies sind zwar keine Polynomfunktionen
mehr, da sie keinen endlichen Grad (höchsten Exponenten)
haben. Man kann sie aber gewissermassen als "Polynom-
funktionen unendlichen Grades" auffassen.
Letzter Teil dieser Überlegungen nun als kleine Übungs-
| Aufgabe | Leite die Potenzreihe für die Cosinusfunktion her, indem du
(analog wie oben für die Polynomfunktion f) die Ableitungen an
der Stelle x=0 und daraus die Koeffizienten [mm] a_k [/mm] berechnest !
(Dasselbe geht analog auch für sin(x) , [mm] e^x [/mm] etc.) |
> Ich weiß [mm]cos(z):=\bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2}[/mm]
> sowie [mm]e^{iz}=cos(z)[/mm] + i*sin(z) [mm]\forall[/mm] z [mm]\in \IC[/mm]
>
> damit kann ich ja eigentlich noch nichts anfangen außer das
> ich weiß
>
> [mm]cos(z)=e^{iz}+[/mm] i*sin(z)
>
> hab im netz auch gefunden das das mit taylor bewiesen
> werden kann, das hatten wir allerdings auch noch nicht.
>
> hat evt. jemand von euch ne idee wie das klappen könnte?
Hallo maxi,
was du hier eigentlich brauchen würdest, ist die
Potenzreihe der Exponentialfunktion:
$\ [mm] e^x=1+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^4}{4!}+ [/mm] .....$
Die habt ihr vielleicht schon einmal benützt, als
noch gar nicht die Rede davon war, dass dies
eine Potenz- oder Taylorreihe ist, nämlich im
Zusammenhang mit Logarithmen und der Zahl e.
Ich würde dir mal vorschlagen, die Reihen-Formeln
für die vorliegende Aufgabe einfach einmal zu ver-
wenden, aber im Unterricht dann darauf zu bestehen,
dass die Formeln noch erklärt werden.
LG al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Fr 16.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Alles klar, da hats dann klick gemacht, die reihenentwicklung von e hatten wir garantiert schon, ich war nur völlig unfähig das zu sehen.
ok dann mal frisch ans werk mit aufgabenteil a.
Ich meld mich wieder wenn ich nich weiterkomme :)
und danke nochmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Fr 16.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Ok jetzt bin ich komplett raus.
wie genau meinst du das mit der ableitung an der stelle x?!
Weil
(cos x)´ = - sin x
(-sin x)´= - cos x
(-cos x)´= sin x
(sin x)´= cos (x) und ab hier dreh ich mich ja im kreis!?
es sei denn du meinst damit was völlig anderes?
Ps: Hab inzwischen die Aufgabe komplett durch, müsste auch alles stimmen, aber jetzt hast du mich neugierig gemacht wie das mit der herleitung aus den ableitungen funktioniert.
mfg Maxi
|
|
|
| |
|
> Ok jetzt bin ich komplett raus.
>
> wie genau meinst du das mit der ableitung an der stelle x?!
Wert der Ableitungsfunktion für den konkreten
x-Wert berechnet, hier für x=0.
Beispiel: [mm] (cos)^{(6)}(x)=-cos(x) [/mm] , also [mm] (cos)^{(6)}(0)=-cos(0)=-1
[/mm]
folglich ist in der Cosinusreihe $\ [mm] a_6=\bruch{(cos)^{(6)}(0)}{6!}=-\bruch{1}{720}$
[/mm]
und damit $\ cos(x)=1- [mm] ....+.....-\bruch{1}{720}*x^6+........$
[/mm]
> Weil
>
> (cos x)´ = - sin x
> (-sin x)´= - cos x
> (-cos x)´= sin x
> (sin x)´= cos (x) und ab hier dreh ich mich ja im kreis!?
Das ist ja hier eben gerade das Schöne ! Es ist ganz
leicht, zum Beispiel die 674ste Ableitung von cos(x)
anzugeben.
> es sei denn du meinst damit was völlig anderes?
>
> Ps: Hab inzwischen die Aufgabe komplett durch, müsste auch
> alles stimmen, aber jetzt hast du mich neugierig gemacht
> wie das mit der herleitung aus den ableitungen
> funktioniert.
>
> mfg Maxi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Fr 16.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
ah ok, dann betrachte ich also:
cos(0)-sin(0)-cos(0)+sin(0)+cos(0)-sin(0)-cos(0)+sin(0)+...
= 1 - [mm] \bruch{0}{1!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{0}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4!} [/mm] - [mm] \bruch{0}{5!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6!} [/mm] + ...
=1 - [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6!}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{(2n)!}
[/mm]
jetzt fehlt mir nur noch wie das [mm] z^{2n} [/mm] in die Summe kommt?! und das müsste ja dann kommen wenn ich statt 0 mein z einsetze, oder?
ps: danke für die mühe, der trick is echt nett.
|
|
|
| |
|
> ah ok, dann betrachte ich also:
>
> cos(0)-sin(0)-cos(0)+sin(0)+cos(0)-sin(0)-cos(0)+sin(0)+...
Als Summe macht dies keinen Sinn, die
einzelnen Summanden aber sehr wohl.
> = 1 - [mm] \bruch{0}{1!}- \bruch{1}{2!}+ \bruch{0}{3!}+ \bruch{1}{4!}- \bruch{0}{5!}- \bruch{1}{6!}+ [/mm] ...
Da fehlen nur noch die entsprechenden
Potenzen der Variablen x (oder z). Der
Koeffizient [mm] a_k [/mm] ist ja erst der Vorfaktor
der Potenz [mm] x^k [/mm] in der Reihe.
> ps: danke für die mühe, der trick is echt nett.
"Tricks" von dieser Art gehen auf Leute wie Newton,
Taylor, Euler etc. zurück.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Da auf die Frage schon geantwortet bzw. reagiert wurde, sollte sie nicht mehr als rot erscheinen 
Markiert die Frage bitte als "teilweise beantwortet" oder "reagiert".
@ maxi:
Den Status der Frage solltest Du nicht unbedingt ändern (wenn Du das selbst getan hast) oder wenigstens sonst auf teilweise beantwortet stellen. Neue Fragen einfach dranhängen. Ansonsten führt das zu Verwirrungen und generell haben sicher die wenigsten hier Lust, nochmal die ganze Frage zu durchforsten, was davon noch offen und was beantwortet ist. Man schreibt ja nicht gerne Dinge nochmal, die jemand anderes schon erwähnt hat, es sei denn, dass da noch Unklahrheiten bestünden. Also weitere Fragen bitte einfach anhängen.
P.S.:
Aus dieser Antwort sollte auch eine Mitteilung gemacht werden, aber ich wollte dieses rote Kästchen da weghaben, da auf die Frage, wie bereits erwähnt, schon reagiert worden ist.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Fr 16.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hallo marcel,
also ich für meinen Teil hab nix daran gebastelt!?
Aber würde trotzdem gern wissen wie das geht XD
mfg Maxi
|
|
|
|
