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Hallo!
Ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen und komme an einer Stelle nicht weiter:
Die Seiten eines beliebigen Dreiecks ABI heißen a, w und v und der Winkel bei A beträgt [mm]\bruch{\alpha}{2}[/mm] und der Winkel bei B beträgt [mm]\bruch{\beta}{2}[/mm]. Es wurde der Sinus-Satz angewendet. Jedoch steht als Ergebnis der Sinus-Satz-Anwendung da:
[mm]\bruch{a}{w}=\bruch{sin\bruch{\alpha+\beta}{2}}{sin\bruch{\alpha}{2}}[/mm].
Wenn ich den Satz anwende, komme ich jedoch nur auf:
[mm]\bruch{a}{w}=\bruch{sin\bruch{\alpha}{2}}{sin\bruch{\beta}{2}}[/mm].
Ich habe im Tafelwerk rumgesucht, ob man das irgendwie umwandeln kann aber habe leider nichts gefunden. Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich auf das angegebene Ergebnis komme?
Danke schonmal.
LG, Raingirl87
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Hallo Raingirl87,
wenn das Dreieck wirklich beliebig ist, dann hat Deine Musterlösung Unrecht, und Du hast Recht.
Damit die vorgelegte Gleichung stimmt, muss gelten:
[mm] \bruch{\sin{\bruch{\alpha}{2}}}{\sin{\bruch{\beta}{2}}}=\bruch{\sin{\bruch{\alpha+\beta}{2}}}{\sin{\bruch{\alpha}{2}}}\quad\gdw\quad \sin^2{\left(\bruch{\alpha}{2}\right)}=\sin{\bruch{\beta}{2}}*(\sin{bruch{\alpha}{2}}\cos{\bruch{\beta}{2}}+\sin{\bruch{\beta}{2}}\cos{\bruch{\alpha}{2}}
[/mm]
Setzen wir [mm] x:=\sin{\bruch{\alpha}{2}} [/mm] und [mm] y:=\sin{\bruch{\beta}{2}}
[/mm]
Dann liest sich das so:
[mm] x^2=y*(x\wurzel{1-y^2}+y\wurzel{1-x^2})
[/mm]
Das aber ist (wie sich auch nach längerem Herumrechnen zeigt), keine Identität, sondern eine bestimmte Beziehung zwischen x und y, eine implizite Funktion.
Aber vielleicht ist auch einfach Dein Dreieck nicht beliebig?
Die Bezeichnung der Winkel ist jedenfalls unüblich.
Gehört das alles zu einer größeren Konstruktion?
Grüße
reverend
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Hallo!
Es handelt sich bei dem Dreieck um ein Teildreieck eines beliebigen Sehnen-Tangenten-Vierecks, deshalb sind die Seitenbezeichnungen so unüblich. Ein Sehnen-Tangenten-Viereck ist ein Viereck, das einen Inkreis besitzt, der jede Seite berührt und einen Umkreis hat, der durch jede Ecke des Vierecks geht. Ich würde hier ja gern die Figur einfügen aber das geht ja leider irgendwie nicht. Für die Winkel in dem Viereck gilt [mm]\alpha+\gamma=\beta+\delta=180°[/mm]° und für die Seiten [mm]a+c=b+d=\bruch{a+b+c+d}{s}[/mm], falls das eine Rolle spielen könnte. Das Viereck ist in vier Dreiecke unterteilt worden, indem die Eckpunkte des Vierecks mit dem Mittelpunkt des Inkreises (I) verbunden wurden und das Dreieck ABI ist eben eins davon.
Kann mir jetzt vielleicht jemand sagen, wie man auf die Formel kommt? Ich kann mir nämlich irgendwie nicht vorstellen, dass die in dem Buch falsch sein soll. Danke schonmal!
LG, Raingirl87
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> Hallo!
> Ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen und
> komme an einer Stelle nicht weiter:
> Die Seiten eines beliebigen Dreiecks ABI heißen a, w und
> v und der Winkel bei A beträgt [mm]\bruch{\alpha}{2}[/mm] und der
> Winkel bei B beträgt [mm]\bruch{\beta}{2}[/mm]. Es wurde der
> Sinus-Satz angewendet. Jedoch steht als Ergebnis der
> Sinus-Satz-Anwendung da:
>
> [mm]\bruch{a}{w}=\bruch{sin\bruch{\alpha+\beta}{2}}{sin\bruch{\alpha}{2}}[/mm].
> Wenn ich den Satz anwende, komme ich jedoch nur auf:
>
> [mm]\bruch{a}{w}=\bruch{sin\bruch{\alpha}{2}}{sin\bruch{\beta}{2}}[/mm].
> Ich habe im Tafelwerk rumgesucht, ob man das irgendwie
> umwandeln kann aber habe leider nichts gefunden. Kann mir
> vielleicht jemand sagen, wie ich auf das angegebene
> Ergebnis komme?
> Danke schonmal.
> LG, Raingirl87
Hallo Raingirl,
das Ganze ist nur eine Frage der richtigen Bezeichnungs-
weise. Sinnvollerweise sollte angegeben werden, dass
gemeint war:
$\ [mm] a=\overline{AB}\qquad w=\overline{BI}\qquad v=\overline{IA}$
[/mm]
Dann kommt alles in Ordnung, denn der Winkel bei I
ist $\ [mm] 180^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}$ [/mm] , und es gilt
$\ [mm] sin(180^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2})\ =sin(\frac{\alpha+\beta}{2})$ [/mm]
LG Al-Chw.
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