"span" - Frage < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Mi 19.11.2008 | | Autor: | extasic |
| Aufgabe | Es sei M ein Euklidischer Vektorraum mit dem inneren Produkt [mm] <\cdot,\cdot> [/mm] und M eine Teilmenge von V.
Zeigen Sie:
Ist M eine endliche Menge, so gilt [mm] M^{\perp} [/mm] = [mm] (spamM)^{\perp} [/mm] |
Hallo!
Leider habe ich neben der Aufgabe an sich auch noch nicht ganz verstanden was ein "span" oder eine "lineare Hülle" eigentlich ist.
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen, so dass ich diese Aufgabe lösen kann?
Vielen Dank!
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> Zeigen Sie:
> Ist M eine endliche Menge, so gilt [mm]M^{\perp}[/mm] =
> [mm](spamM)^{\perp}[/mm]
spam: bitte nicht auch noch in mathematischen Formeln !!
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> Es sei M ein Euklidischer Vektorraum mit dem inneren
> Produkt [mm]<\cdot,\cdot>[/mm] und M eine Teilmenge von V.
>
> Zeigen Sie:
> Ist M eine endliche Menge, so gilt [mm]M^{\perp}[/mm] =
> [mm](spamM)^{\perp}[/mm]
> Hallo!
>
> Leider habe ich neben der Aufgabe an sich auch noch nicht
> ganz verstanden was ein "span" oder eine "lineare Hülle"
> eigentlich ist.
Hallo,
hier wäre es natürlich gut, würdest Du mal Eure Definition aus der Vorlesung posten, damit man das anhand dieser klären kann.
Der span einer Menge von Vektoren enthält alle Linearkombinationen, die man aus diesen Vektoren bilden kann.
Gruß v. Angela
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> Es sei M ein Euklidischer Vektorraum ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das muss natürlich V heissen
> mit dem inneren
> Produkt [mm]<\cdot,\cdot>[/mm] und M eine Teilmenge von V.
>
> Zeigen Sie:
> Ist M eine endliche Menge, so gilt [mm]M^{\perp}[/mm] = [mm](spamM)^{\perp}[/mm]
Hallo,
meine vorherige Bemerkung zu "spam" war natürlich
nur scherzhaft gemeint.
Sei [mm] M=\{m_1,m_2, ... ,m_n\}
[/mm]
S=span(M) ist die Menge aller Vektoren, die sich
als Linearkombinationen von Vektoren aus M
darstellen lassen:
[mm] S=\{s\in V\ |\ s=x_1*m_1+x_2*m_2+ ... + x_n*m_n\}
[/mm]
S ist ein Untervektorraum von V.
Mit [mm] M^{\perp} [/mm] kann hier wohl nur die Menge aller Vektoren
in V gemeint sein, welche auf allen Elementen von M
normal stehen:
$\ [mm] M^{\perp}=\{v\in V\ |\ \ =\ 0\ ,\ i=1,2, ... ,n\ \}$
[/mm]
[mm] S^{\perp} [/mm] wäre analog die Menge aller Vektoren in V, die
auf allen Elementen von S normal stehen:
$\ [mm] S^{\perp}=\{v\in V\ |\ s\in S\Rightarrow\ \ =\ 0\ \}$
[/mm]
Nun soll man zeigen, dass $\ [mm] M^{\perp}=S^{\perp}$ [/mm] ist.
Dazu genügt es zu zeigen:
1.) Falls [mm] s\in S^{\perp}, [/mm] so ist [mm] s\in M^{\perp}
[/mm]
2.) Falls [mm] v\in M^{\perp}, [/mm] so ist [mm] v\in S^{\perp}
[/mm]
Vielleicht überlegst du dir zuerst einmal, welcher
dieser beiden Teile leichter nachzuweisen ist.
LG
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