stationär/ergodisch < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:28 So 09.12.2018 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe 1 | Es sei [mm] X=(X_n)_{n\ge 0} [/mm] unabhängig und Ber(p)-verteilt und es sei [mm] r\in\IN [/mm] mit [mm] r\ge2. [/mm] Für [mm] n\ge [/mm] 0 sei [mm] Y_n=1_{X_n=...=X_{n+r-1}}. [/mm] Gilt [mm] X_n=...=X_{n+r-1}, [/mm] dann sprechen wir von einem Lauf der Länge r bei [mm] X_{n},...,X_{n+r-1}
[/mm]
(a) Zeige, dass [mm] Y=(Y_n)_{n\ge 0} [/mm] stationär und ergodisch ist.
(b) Bestimme [mm] Cov(Y_m,Y_n) [/mm] für [mm] m,n\ge [/mm] 0 |
| Aufgabe 2 | Es sei [mm] (\Omega, \mathcal{F}, [/mm] P) ein W'raum und [mm] T:\Omega\rightarrow \Omega [/mm] eine Zufallsvariable mit Werten in [mm] \Omega. [/mm] Außerdem sei
[mm] T^0(\omega)=\omega [/mm] und [mm] T^n(\omega)=(T\circ...\circ T)(\omega) [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 1
Zeige, dass die Folge [mm] (T^n)_{n\ge 0} [/mm] genau dann stationär ist, wenn T maßtreu ist, das heißt, wenn [mm] P(T^{-1}(A))=P(A) [/mm] für alle [mm] A\in\mathcal{F} [/mm] gilt |
Hallo,
[mm] X=(X_n)_{n\ge 0} [/mm] heißt
- stationär falls [mm] X\overset{d}{=}\Theta^k(X) [/mm] für alle [mm] k\ge [/mm] 0, d.h. [mm] P_X=P_{\Theta^k(X)}
[/mm]
- ergodisch, falls [mm] \mathcal{I}(X) [/mm] P-trivial ist.
falls X unabhängig ist können wir daraus folgern, dass X [mm] \mathcal{I}(X) [/mm] P-trivial ist. D.h. wenn wir zeigen können, dass Y unabhängig ist, dann können wir folgern, dass Y [mm] \mathcal{I}(X) [/mm] Ptrivial ist.
Aufgabe 1
Erstmals zu stationär:
wir wissen: X stationär also ist [mm] P_{X}=P_{\Theta^k(X)} [/mm] für alle [mm] k\ge [/mm] 0
also müssen wir zeigen [mm] P_{Y}=P_{\Theta^k(Y)}
[/mm]
Leider komme ich nicht weiter. Kann mir jemand einen Hinweis geben?
(b) Hoffe auf einen Tipp
Aufgabe 2
[mm] "\Rightarrow" P_{T^0,...,T^n}=P_{T^k,...,T^{k+n}} [/mm] also
[mm] P(T^0\in B_0,...,T^n\in B_n) [/mm] = [mm] P(T^k\in B_0,...,T^{k+n}\in B_n), B_i\in\mathcal{F} [/mm] i=1,..,n
Ich komme leider nicht weiter. Ich bin für den Tipp dankbar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 12.12.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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