stationärer Zustand -> Markov < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Di 12.01.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Welche Markov-Matrizen haben den stationären Zustand [mm] \begin{bmatrix} 0,6 \\ 0,4 \end{bmatrix}? [/mm] |
Hallo,
aufgrund der Anzahl der Komponenten des stationären Vektors, muss die gesuchte Matrix eine 2x2-Matrix sein. Außerdem ist dieser Vektor ein Eigenvektor der Matrix A zudem der Eigenwert 1 gehört, somit muss die Matrix folgende Gleichung erfüllen:
(A - 1 [mm] \cdot{} [/mm] I ) [mm] x_1 [/mm] = 0
[mm] \begin{bmatrix} a-1 & b \\ c & d-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0,6 \\ 0,4 \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
[/mm]
-> 0,6a+0,4b = 0,6 und 0,6c+0,4d = 0,4
Zudem muss die Spaltensumme jeweils Eins ergeben und die ein Eigenwert ist Eins, zusammen mit der Spur von A ergibt sich eine weitere Eigenschaft:
a+d = [mm] \lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] = 1 + [mm] \lambda_2
[/mm]
Alle Matrizen, die diese Eigenschaften besitzen, sind Markov-Matrizen mit stationärem Zustand [mm] \begin{bmatrix} 0,6 \\ 0,4 \end{bmatrix}.
[/mm]
Beispiel:
Sei a = 0,3 und c = 0,7 somit ist die Summe 1, daraus ergibt sich direkt: 0,3 + d = 1 + [mm] \lambda_2
[/mm]
Aus den beiden Gleichungen ergibt sich dann für b und d folgendes:
0,4b = 0,42 -> b = 1,05
0,4d = -0,02 -> d = -0,05
Somit ist auch diese Spaltensumme = 1
Nun lässt sich auch [mm] \lamda_2 [/mm] bestimmen: 0,3 -0,05 = 1 + [mm] \lambda_2 [/mm] -> [mm] \lambda_2 [/mm] = -0,75
Die Markov-Matrix sieht dann so aus: A = [mm] \begin{bmatrix} 0,3 & 1,05 \\ 0,7 & -0,05 \end{bmatrix}
[/mm]
Stimmt die Lösung der Aufgabe?
Vielen Dank
itse
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> Welche Markov-Matrizen haben den stationären Zustand
> [mm]\begin{bmatrix} 0,6 \\ 0,4 \end{bmatrix}?[/mm]
> Hallo,
>
> aufgrund der Anzahl der Komponenten des stationären
> Vektors, muss die gesuchte Matrix eine 2x2-Matrix sein.
> Außerdem ist dieser Vektor ein Eigenvektor der Matrix A
> zudem der Eigenwert 1 gehört, somit muss die Matrix
> folgende Gleichung erfüllen:
>
> (A - 1 [mm]\cdot{}[/mm] I ) [mm]x_1[/mm] = 0
>
> [mm]\begin{bmatrix} a-1 & b \\ c & d-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0,6 \\ 0,4 \end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}[/mm]
>
> -> 0,6a+0,4b = 0,6 und 0,6c+0,4d = 0,4
>
> Zudem muss die Spaltensumme jeweils Eins ergeben
Hallo,
das liefert Dir zwei zusätzliche Gleichungen, a+c=1 und b+d=1.
Insgesamt hast Du nun ein LGS mit 4 Gleichungen und 4 Variablen.
> und die
> ein Eigenwert ist Eins,
Das hast Du ja schon eingebaut, als Du (A-1*I)v=0 betrachtet hast.
Lös jetzt das Gleichungssystem - es hat keine eindeutige Lösung, und deshalb ist die Matrix, die Du unten angibst, nur eine von vielen möglichen.
Du sollst die allgemein angeben und wirst irgendwo einen Parameter drin haben.
Gruß v. Angela
zusammen mit der Spur von A ergibt
> sich eine weitere Eigenschaft:
>
> a+d = [mm]\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] = 1 + [mm]\lambda_2[/mm]
>
>
> Alle Matrizen, die diese Eigenschaften besitzen, sind
> Markov-Matrizen mit stationärem Zustand [mm]\begin{bmatrix} 0,6 \\ 0,4 \end{bmatrix}.[/mm]
>
> Beispiel:
>
> Sei a = 0,3 und c = 0,7 somit ist die Summe 1, daraus
> ergibt sich direkt: 0,3 + d = 1 + [mm]\lambda_2[/mm]
>
> Aus den beiden Gleichungen ergibt sich dann für b und d
> folgendes:
>
> 0,4b = 0,42 -> b = 1,05
> 0,4d = -0,02 -> d = -0,05
>
> Somit ist auch diese Spaltensumme = 1
>
> Nun lässt sich auch [mm]\lamda_2[/mm] bestimmen: 0,3 -0,05 = 1 +
> [mm]\lambda_2[/mm] -> [mm]\lambda_2[/mm] = -0,75
>
> Die Markov-Matrix sieht dann so aus: A = [mm]\begin{bmatrix} 0,3 & 1,05 \\ 0,7 & -0,05 \end{bmatrix}[/mm]
>
>
> Stimmt die Lösung der Aufgabe?
>
> Vielen Dank
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Mi 13.01.2010 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
ich habe nun folgendes LGS aufgestellt:
[mm] \begin{bmatrix} 0,6 & 0,4 & 0 & 0 & 0,6 \\ 0 & 0 & 0,6 & 0,4 & 0,4 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}
[/mm]
nach Umformungen komme ich auf:
[mm] \begin{bmatrix} 0,6 & 0,4 & 0 & 0 & 0,6 \\ 0 & 0,4 & -0,6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -0,6 & -0,4 & -0,4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
[/mm]
Aufgrund der letzten Zeile ist eine Variable als Parameter frei wählbar: d = [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
Dies habe ich nun die anderen Gleichungen eingesetzt, um c, b und a zu bestimmen. Hierbei erhalte ich:
c = [mm] \bruch{2}{3}-\bruch{2}{3}\lambda
[/mm]
b = 1 - [mm] \lambda
[/mm]
a = [mm] \bruch{1}{3}+\bruch{2}{3}\lambda
[/mm]
Somit erhalte ich für die gesuchte Matrix:
A = [mm] \begin{bmatrix} \bruch{1}{3}+\bruch{2}{3}\lambda & 1 - \lambda \\ \bruch{2}{3}-\bruch{2}{3}\lambda & \lambda \end{bmatrix} [/mm] für [mm] \lambda \in \IR \setminus [/mm] {1}
Für die Eins ergibt sich die Einheitsmatrix und dies hat bekanntlich zweimal den Eigenwert Eins und somit nicht den stationären Zustand. Dadurch bin ich aber mehr oder weniger durch Zufall, bei der Probe draufgekommen.
Gibt es noch weitere Einschränkungen für [mm] \lambda [/mm] ? Und wie hätte man dies direkt erkennen können, dass [mm] \lambda [/mm] = 1 ausgeschlossen ist?
Besten Dank
itse
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> Guten Morgen,
>
> ich habe nun folgendes LGS aufgestellt:
>
> [mm]\begin{bmatrix} 0,6 & 0,4 & 0 & 0 & 0,6 \\ 0 & 0 & 0,6 & 0,4 & 0,4 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> nach Umformungen komme ich auf:
>
> [mm]\begin{bmatrix} 0,6 & 0,4 & 0 & 0 & 0,6 \\ 0 & 0,4 & -0,6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -0,6 & -0,4 & -0,4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Aufgrund der letzten Zeile ist eine Variable als Parameter
> frei wählbar: d = [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> Dies habe ich nun die anderen Gleichungen eingesetzt, um c,
> b und a zu bestimmen. Hierbei erhalte ich:
>
> c = [mm]\bruch{2}{3}-\bruch{2}{3}\lambda[/mm]
>
> b = 1 - [mm]\lambda[/mm]
>
> a = [mm]\bruch{1}{3}+\bruch{2}{3}\lambda[/mm]
>
>
> Somit erhalte ich für die gesuchte Matrix:
>
> A = [mm]\begin{bmatrix} \bruch{1}{3}+\bruch{2}{3}\lambda & 1 - \lambda \\ \bruch{2}{3}-\bruch{2}{3}\lambda & \lambda \end{bmatrix}[/mm]
> für [mm]\lambda \in \IR \setminus[/mm] {1}
>
> Für die Eins ergibt sich die Einheitsmatrix und dies hat
> bekanntlich zweimal den Eigenwert Eins und somit nicht den
> stationären Zustand.
Hallo,
doch: jeder Zustand ist ein stationärer - es ändert sich ja nichts.
Ob Markov-Matrizen genau einen Eigenwert 1 haben müssen, oder ob ein Eigenwert 1 sein muß, weiß ich nicht - aber das habt Ihr ja sicher notiert.
Deine Matrix jedenfalls sieht aus wie meine.
Gruß v. Angela
> Dadurch bin ich aber mehr oder
> weniger durch Zufall, bei der Probe draufgekommen.
>
> Gibt es noch weitere Einschränkungen für [mm]\lambda[/mm] ?
Nein.
> Und
> wie hätte man dies direkt erkennen können, dass [mm]\lambda[/mm] =
> 1 ausgeschlossen ist?
Falls die 1 wirklich kein doppelter Eigenwert sein darf, dann muß
A-E [mm] \not=0 [/mm] sein.
Gruß v. Angela
>
> Besten Dank
> itse
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