stetig < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Mo 03.09.2007 | | Autor: | LottaW |
Hallo,
ich hab keine spezielle Aufgabe, sondern ich würde gerne wissen, wie man die Stetigkeit einer Funktion nachweist.
Nehme mal folgendes Beispiel dazu:
[mm] f(x)=x^{3}+2x^{2}+4x
[/mm]
Stetigkeit der Funktion im Nullpunkt
Vielen lieben Dank für eure Hilfe
Lotta
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lotta!
Damit die Funktion z.B. an der stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ stetig ist, müssen folgende beiden Grenzwerte existieren und übereinstimmen. Zudem muss der Grenzwert auch gleich dem Funktionswert [mm] $y_0 [/mm] \ = \ [mm] f(x_0)$ [/mm] sein:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] f(x_0)$$
[/mm]
Dabei handelt es sich hier um den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an [mm] $x_0$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Mo 03.09.2007 | | Autor: | LottaW |
Würde das dann in meinem Beispiel so aussehen:
Wenn nicht die Funktion f(x) gegen Null laufen lasse, also jeweils das x, dann nimmt die Funktion den Funktionswert 0 an. Sowohl bei x >0 als auch bei x<0.
Ist dies so richtig??
Lotta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lotta!
Verbal formuliert stimmt das so. Das musst Du halt noch durch die entsprechende Rechnung belegen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lotta!
Man kann es auch leicht variiert nachweisen mit den Grenzwerten:
$$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(x_0-h) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(x_0+h) [/mm] \ = \ [mm] f(x_0) [/mm] $$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Mo 03.09.2007 | | Autor: | LottaW |
Heißt das, dass ich nun für die gegebene Funktion für das x jeweils [mm] x_{0}+h [/mm] einsetze?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lotta!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ... Dabei muss man halt bedenken, dass $h \ > \ 0$ gilt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Mo 03.09.2007 | | Autor: | LottaW |
Ich hab mal [mm] f(x_{0}-h) [/mm] eingesetzt und hab folgendes raus:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(x_{0}-h)=\limes_{h\rightarrow 0} (x_{0}-h)^{3}+2(x_{0}-h)^{2}+4(x_{0}-h)
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} x_{0}^{3}-x_{0}^{2}h-2x_{0}^{2}h+2x_{0}h^{2}+h^{2}x_{0}-h^{3}+2x_{0}^{2}-4x_{0}h+2h^{2}+4x_{0}-4h
[/mm]
Und wenn ich h gegen Null laufen lasse, erhalte ich: [mm] x_{0}^{3}+2x_{0}^{2}+4x_{0}
[/mm]
Ist das schon das Ergebnis?? Oder hab ich was falsch gemacht??
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Hallo,
das sieht gut aus.
Für den Grenzwert von der anderen Seite jetzt mit [mm] (x_0+h) [/mm] .
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mo 03.09.2007 | | Autor: | LottaW |
Da müsste das gleiche herauskommen.
Was besagt mir dann das Ergebnis?
Wenn die Ergebnisse gleich sind, ist die Funktion stetig??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lotta!
> Was besagt mir dann das Ergebnis?
> Wenn die Ergebnisse gleich sind, ist die Funktion stetig??
und ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") ... wenn diese beiden Ergebnisse auch mit dem Funktionswert [mm] $f(x_0)$ [/mm] übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] stetig.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mo 03.09.2007 | | Autor: | LottaW |
Es ist ja die stetigkeit der Funktion im Nullpunkt zu untersuchen. Ist also [mm] x_{0}=0??
[/mm]
Für [mm] f(x_{0}) [/mm] würde ich das selbe wie bei [mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(x_{0}-h) [/mm] erhalten.
Muss ich etwa auch jeweils für [mm] x_{0} [/mm] 0 einsetzen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Mo 03.09.2007 | | Autor: | LottaW |
Danke für deine Hilfe. 
Jetzt hab ich es mal verstanden
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In welchen Fällen reicht es eigentlich aus, dass man für die Stetigkeit nur den rechtsseitigen (oder linksseitigen) Grenzwert zeigen muss?
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> In welchen Fällen reicht es eigentlich aus, dass man für
> die Stetigkeit nur den rechtsseitigen (oder linksseitigen)
> Grenzwert zeigen muss?
>
Hallo,
wenn die Funktion links (rechts) vom fraglichen Punkt gar nicht mehr definiert ist.
Gruß v. Angela
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