stetig fortsetzbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen stetig Fortsetzbar im Punkt (0,0) sind:
a) f: [mm] \IR^{2}\backslash \{(0,0)\} [/mm] mit (x,y) [mm] \mapsto [/mm] f((x,y)) = [mm] \bruch{x+y}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
b) g: [mm] \IR^{2}\backslash \{(0,0)\} [/mm] mit (x,y) [mm] \mapsto [/mm] g((x,y)) = [mm] \bruch{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
c) h: [mm] \IR^{2}\backslash \{(0,0)\} [/mm] mit (x,y) [mm] \mapsto [/mm] h((x,y)) = [mm] \bruch{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}} [/mm] |
Guten Tag,
in meinem Skript steht "eine Funktion f ist stetig fortsetzbar in a, wenn [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x) existiert". Nun vorweg ich bin absoluter Neuling was diese Aufgabe angeht. Muss ich hier konkret jeweils den Grenzwert vorgeben? Oder kann ich auch anders zeigen, das die jeweilige Funktion stetig Fortsetzbar ist? Und wie zeige ich falls es keinen Grenzwert gibt, das dem so ist? Würde mich freuen, wenn mir hier jemand ein paar kleine Starthilfen geben könnte. Denn momentan steh ich wie der Ochs vorm Berg vor dieser Aufgabe. Ich weiß leider nicht wirklich wie ich anfangen soll.
LG Loriot95
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Hallo Loriot95,
hier ein paar Tipps:
> Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen stetig Fortsetzbar
> im Punkt (0,0) sind:
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> a) f: [mm]\IR^{2}\backslash \{(0,0)\}[/mm] mit (x,y) [mm]\mapsto[/mm]
> f((x,y)) = [mm]\bruch{x+y}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
> b) g: [mm]\IR^{2}\backslash \{(0,0)\}[/mm] mit (x,y) [mm]\mapsto[/mm]
> g((x,y)) = [mm]\bruch{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
> c) h: [mm]\IR^{2}\backslash \{(0,0)\}[/mm] mit (x,y) [mm]\mapsto[/mm]
> h((x,y)) = [mm]\bruch{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> Guten Tag,
>
> in meinem Skript steht "eine Funktion f ist stetig
> fortsetzbar in a, wenn [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] f(x)
> existiert". Nun vorweg ich bin absoluter Neuling was diese
> Aufgabe angeht. Muss ich hier konkret jeweils den Grenzwert
> vorgeben?
Nicht vorgeben, sondern ermitteln, ob einer existiert, und wenn ja, welcher.
> Oder kann ich auch anders zeigen, das die
> jeweilige Funktion stetig Fortsetzbar ist?
Nein, Du kannst nur auch auf anderen Wegen zeigen, dass die Funktion nicht stetig fortsetzbar ist. Wenn diese Wege (z.B. über partielle bzw. Richtungsableitungen) aber nicht zu dieser Aussage führen, dann weiß man trotzdem noch nicht, ob die F'n st.fortsetzbar ist.
> Und wie zeige
> ich falls es keinen Grenzwert gibt, das dem so ist?
Indem Du entweder zeigst, dass bei einer bestimmten Annäherung an den betreffenden Punkt (hier den Ursprung) die Funktion gegen [mm] \pm\infty [/mm] geht, oder aber dass bei verschiedenen Annäherungen verschiedene Grenzwerte existieren.
Typische Wege, die man erst einmal (mit ein bisschen Übung im Kopf) untersucht, sind folgende: x=0 setzen, y gegen 0 laufen lassen - oder umgekehrt. Dann vielleicht x=y setzen und gegen 0 laufen lassen etc.
Eine erste Faustregel bei gebrochen rationalen Funktionen ist, dass der Nennergrad nicht höher als der Zählergrad sein darf. Man muss dann trotzdem genauer prüfen. Auf den ersten Blick würde ich also sagen, dass die erste Funktion nicht stetig fortsetzbar ist, die zweite wahrscheinlich schon, die dritte ziemlich sicher.
> Würde
> mich freuen, wenn mir hier jemand ein paar kleine
> Starthilfen geben könnte. Denn momentan steh ich wie der
> Ochs vorm Berg vor dieser Aufgabe. Ich weiß leider nicht
> wirklich wie ich anfangen soll.
Nimm Dir am besten erst einmal die zweite Aufgabe vor, das ist ein guter Einstieg.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Erst mal vielen Dank für deine Hilfe.
> > in meinem Skript steht "eine Funktion f ist stetig
> > fortsetzbar in a, wenn [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] f(x)
> > existiert". Nun vorweg ich bin absoluter Neuling was diese
> > Aufgabe angeht. Muss ich hier konkret jeweils den Grenzwert
> > vorgeben?
>
> Nicht vorgeben, sondern ermitteln, ob einer existiert, und
> wenn ja, welcher.
> > Oder kann ich auch anders zeigen, das die
> > jeweilige Funktion stetig Fortsetzbar ist?
>
> Nein, Du kannst nur auch auf anderen Wegen zeigen, dass die
> Funktion nicht stetig fortsetzbar ist. Wenn diese Wege
> (z.B. über partielle bzw. Richtungsableitungen) aber nicht
> zu dieser Aussage führen, dann weiß man trotzdem noch
> nicht, ob die F'n st.fortsetzbar ist.
>
> > Und wie zeige
> > ich falls es keinen Grenzwert gibt, das dem so ist?
>
> Indem Du entweder zeigst, dass bei einer bestimmten
> Annäherung an den betreffenden Punkt (hier den Ursprung)
> die Funktion gegen [mm]\pm\infty[/mm] geht, oder aber dass bei
> verschiedenen Annäherungen verschiedene Grenzwerte
> existieren.
Hm und wie macht man das?
> Typische Wege, die man erst einmal (mit ein bisschen Übung
> im Kopf) untersucht, sind folgende: x=0 setzen, y gegen 0
> laufen lassen - oder umgekehrt. Dann vielleicht x=y setzen
> und gegen 0 laufen lassen etc.
Ok. Für x = 0 oder y = 0 ist die Funktion gleich 1. Für x = y ist sie gleich 2. Was bedeutet das nun? Heißt das nun, das es zwei verschiedene Grenzwerte gibt und somit der Grenzwert nicht existiert?
> Eine erste Faustregel bei gebrochen rationalen Funktionen
> ist, dass der Nennergrad nicht höher als der Zählergrad
> sein darf. Man muss dann trotzdem genauer prüfen. Auf den
> ersten Blick würde ich also sagen, dass die erste Funktion
> nicht stetig fortsetzbar ist, die zweite wahrscheinlich
> schon, die dritte ziemlich sicher.
>
> > Würde
> > mich freuen, wenn mir hier jemand ein paar kleine
> > Starthilfen geben könnte. Denn momentan steh ich wie der
> > Ochs vorm Berg vor dieser Aufgabe. Ich weiß leider nicht
> > wirklich wie ich anfangen soll.
>
> Nimm Dir am besten erst einmal die zweite Aufgabe vor, das
> ist ein guter Einstieg.
>
> Grüße
> reverend
>
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Hallo nochmal,
> > oder aber dass bei
> > verschiedenen Annäherungen verschiedene Grenzwerte
> > existieren.
> Hm und wie macht man das?
Hast Du ja schon: siehe unten.
> > Typische Wege, die man erst einmal (mit ein bisschen
> Übung
> > im Kopf) untersucht, sind folgende: x=0 setzen, y gegen 0
> > laufen lassen - oder umgekehrt. Dann vielleicht x=y setzen
> > und gegen 0 laufen lassen etc.
> Ok. Für x = 0 oder y = 0 ist die Funktion gleich 1. Für
> x = y ist sie gleich 2. Was bedeutet das nun? Heißt das
> nun, das es zwei verschiedene Grenzwerte gibt und somit der
> Grenzwert nicht existiert?
So ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du könntest da sogar noch weitere Grenzwerte konstruieren - welchen soll man dann als Funktionswert definieren, um die Funktion an der Definitionslücke stetig fortzusetzen?
Jetzt probier doch mal eine der beiden anderen Aufgaben. Bei der einen geht's, bei der anderen nicht.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hallo nochmal,
>
> > > oder aber dass bei
> > > verschiedenen Annäherungen verschiedene Grenzwerte
> > > existieren.
> > Hm und wie macht man das?
>
> Hast Du ja schon: siehe unten.
>
> > > Typische Wege, die man erst einmal (mit ein bisschen
> > Übung
> > > im Kopf) untersucht, sind folgende: x=0 setzen, y gegen 0
> > > laufen lassen - oder umgekehrt. Dann vielleicht x=y setzen
> > > und gegen 0 laufen lassen etc.
> > Ok. Für x = 0 oder y = 0 ist die Funktion gleich 1.
> Für
> > x = y ist sie gleich 2. Was bedeutet das nun? Heißt das
> > nun, das es zwei verschiedene Grenzwerte gibt und somit der
> > Grenzwert nicht existiert?
>
> So ist es.
> Du könntest da sogar noch weitere Grenzwerte konstruieren
> - welchen soll man dann als Funktionswert definieren, um
> die Funktion an der Definitionslücke stetig fortzusetzen?
Keine Ahnung. Da gab es keine Vorgabe.
> Jetzt probier doch mal eine der beiden anderen Aufgaben.
> Bei der einen geht's, bei der anderen nicht.
Ok. Also wenn ich bei der ersten x = 0 setze und y gegen 0 laufen lasse, so läuft das ganze gegen unendlich. Das heißt dann doch auch das keinen Grenzwert gibt, richtig? Somit ist auch f nicht stetig fortsetzbar?!
Wenn dies stimmt, so müsste die letzte Funktion stetig fortsetzbar sein. Nun wie kann ich hier vorgehen? Es ist ja h(x,y) = [mm] \bruch{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}. [/mm] Nun ich würde hier vielleicht irgendwie nach oben oder nach unten abschätzen. Was anderes fällt mir hier nicht ein. Wobei ich mir nicht mal wirklich sicher bin, ob das überhaupt sinnvoll ist.
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Hallo Loriot,
> > Jetzt probier doch mal eine der beiden anderen Aufgaben.
> > Bei der einen geht's, bei der anderen nicht.
> Ok. Also wenn ich bei der ersten x = 0 setze und y gegen 0
> laufen lasse, so läuft das ganze gegen unendlich. Das
> heißt dann doch auch das keinen Grenzwert gibt, richtig?
> Somit ist auch f nicht stetig fortsetzbar?!
Genau!
Es müsste - egal auf welchem Weg auch immer du dich dem Ursprung näherst - ein und derselbe GW herauskommen...
> Wenn dies stimmt, so müsste die letzte Funktion stetig
> fortsetzbar sein. Nun wie kann ich hier vorgehen? Es ist ja
> h(x,y) = [mm]\bruch{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.[/mm] Nun ich
> würde hier vielleicht irgendwie nach oben oder nach unten
> abschätzen. Was anderes fällt mir hier nicht ein. Wobei
> ich mir nicht mal wirklich sicher bin, ob das überhaupt
> sinnvoll ist.
Bei solchen Aufgaben schaue ich mir die Chose immer in Polarkoordinaten an.
Bei der 3) hast du dann mit [mm]x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)[/mm] doch den Funktionsterm [mm]\frac{r^3\cdot{}\left(\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\right)^3}{r^2}=r\cdot{}\left(\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\right)^3[/mm]
Und das strebt unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] für [mm]r\downarrow 0[/mm] gegen [mm]0[/mm], also kannst du mittels [mm]f(0,0):=0[/mm] stetig in [mm](0,0)[/mm] fortsetzen.
Wandel mal die anderen beiden in Polarkoordinaten um ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Bei solchen Aufgaben schaue ich mir die Chose immer in
> Polarkoordinaten an.
>
> Bei der 3) hast du dann mit [mm]x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)[/mm]
> doch den Funktionsterm
> [mm]\frac{r^3\cdot{}\left(\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\right)^3}{r^2}=r\cdot{}\left(\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\right)^3[/mm]
>
> Und das strebt unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] für [mm]r\downarrow 0[/mm]
> gegen [mm]0[/mm], also kannst du mittels [mm]f(0,0):=0[/mm] stetig in [mm](0,0)[/mm]
> fortsetzen.
>
>
> Wandel mal die anderen beiden in Polarkoordinaten um ...
>
Die Idee gefällt mir, allerdings verstehe ich nicht, weshalb ich hier auf einmal nur r gegen 0 streben lasse? Das verstehe ich beim besten Willen nicht.
f((x,y)) = [mm] \bruch{cos(\varphi)+sin(\varphi)}{r} [/mm] und g((x,y)) = 1+ [mm] 2*sin(\varphi)*cos(\varphi)
[/mm]
So richtig?
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Hallo
du willst den Nullpunkt überprüfen, deshalb lässt du r gegen 0 gehen, den Winkel [mm] \phi [/mm] betrachtest du zum Schluss, den kannst du selber festlegen. Vielleicht kennst du r auch aus der komplexen Schreibweise [mm] rcis(\phi). [/mm]
> So richtig?
ja , aber noch nicht fertig
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hallo
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> du willst den Nullpunkt überprüfen, deshalb lässt du r
> gegen 0 gehen, den Winkel [mm]\phi[/mm] betrachtest du zum Schluss,
> den kannst du selber festlegen. Vielleicht kennst du r auch
> aus der komplexen Schreibweise [mm]rcis(\phi).[/mm]
Ja, aber mal angenommen es wäre nicht der Nullpunkt. Sagen wir es wäre der Punkt (4,3). Muss ich dann r jeweils r -> 4 und r-> 3 betrachten oder wie funktioniert das dann?
>
> > So richtig?
>
> ja , aber noch nicht fertig
Na ja, wenn bei der Funktion f r gegen Null streben lasse, so ist der Grenzwert unendlich. D.h es gibt keinen. Was ist nun bei der anderen Funktion? Das r ist verschwunden und es bleibt 1+ [mm] 2*cos(\varphi)sin(\varphi) [/mm] übrig. Was sagt mir das nun?
>
> Gruss
> kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Mi 13.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du eine 2d fkt hast, ist sie stetig,in [mm] P=(x-0,y_0) [/mm] wenn es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] eine Umgebung U von P so dass für alle [mm] (x,y)\in [/mm] U gilt
[mm] |f(x,y)_f(x_=,y_0)|< \epsilon
[/mm]
mit den Kreisscheiben innerhalb (rcost,rsint) hast du solche Umgebungen um (0,0) und für deine 3 te fkt hast du gezeigt, wenn [mm] r<\epsilon/2 [/mm] ist ist das wahr.
Um den Punkt [mm] (x_0,y__0)= [/mm] sind die entsprechenden Kreise [mm] (rcost+x_o,rsint+y_0) [/mm] und natürlich wieder r gegen 0!
Wenn sich wie bei 2 r rauskürzt gibt es keine umgebung des punktes in der für all x,y die Ungl. gilt, also nicht stetig.
um Stetigkeit zu zeigen gibts fast nur das mittel der polarkoordinaten, für unstetigkeit gehts oft auch einfacher, wie schon gezeigt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für deine Antwort. Ich muss allerdings gestehen das ich fast nichts davon verstanden habe.
> wenn du eine 2d fkt hast, ist sie stetig,in [mm]P=(x_0,y_0)[/mm]
> wenn es zu jedem [mm]\epsilon[/mm] eine Umgebung U von P so dass
> für alle [mm](x,y)\in[/mm] U gilt
> [mm]|f(x,y)_f(x_=,y_0)|< \epsilon[/mm]
Diese schreibweise verstehe ich nicht. Was heißt das Gleichheitszeichhen? Meintest du vielleicht das hier:| [mm] f(x,y)-f(x_0,y_0)|< \epsilon [/mm] ?
> mit den Kreisscheiben
> innerhalb (rcost,rsint) hast du solche Umgebungen um (0,0)
Was ist (rcost,rsint)?
> und für deine 3 te fkt hast du gezeigt, wenn [mm]r<\epsilon/2[/mm]
> ist ist das wahr.
Das sehe ich nicht. Wo habe ich das gezeigt?
> Um den Punkt [mm](x_0,y__0)=[/mm] sind die entsprechenden Kreise
> [mm](rcost+x_o,rsint+y_0)[/mm] und natürlich wieder r gegen 0!
> Wenn sich wie bei 2 r rauskürzt gibt es keine umgebung
> des punktes in der für all x,y die Ungl. gilt, also nicht
> stetig.
> um Stetigkeit zu zeigen gibts fast nur das mittel der
> polarkoordinaten, für unstetigkeit gehts oft auch
> einfacher, wie schon gezeigt.
> Gruss leduart
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Do 14.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Vielen Dank für deine Antwort. Ich muss allerdings
> gestehen das ich fast nichts davon verstanden habe.
> > wenn du eine 2d fkt hast, ist sie stetig,in [mm]P=(x_0,y_0)[/mm]
> > wenn es zu jedem [mm]\epsilon[/mm] eine Umgebung U von P so dass
> > für alle [mm](x,y)\in[/mm] U gilt
> > [mm]|f(x,y)_f(x_=,y_0)|< \epsilon[/mm]
> Diese schreibweise
> verstehe ich nicht. Was heißt das Gleichheitszeichhen?
ich versteh nicht welches = du meinst. da steht nur [mm] P=(x_0,y_0) [/mm] das ist ein Name für den Punkt ,den du untersuchst.
> Meintest du vielleicht das hier:| [mm]f(x,y)-f(x_0,y_0)|< \epsilon[/mm]
> ?
Ja, da hab ich mich offensichtlich vertippt.
> > mit den Kreisscheiben
> > innerhalb (rcost,rsint) hast du solche Umgebungen um (0,0)
> Was ist (rcost,rsint)?
Ich dachte die Parameterschreibweise für einen Kreis sei bekannt, der Punkt (x,y)=(rcost,rsint)liegt auf einem Kreis mit Radius r um (0,0)alle punkte mit kleinerem r liegen innerhalb.
> > und für deine 3 te fkt hast du gezeigt, wenn [mm]r<\epsilon/2[/mm]
> > ist ist das wahr.
> Das sehe ich nicht. Wo habe ich das gezeigt?
du hattest:
$ [mm] |\frac{r^3\cdot{}\left(\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\right)^3}{r^2}-0|=|r\cdot{}\left(\cos(\varphi)+\sin(\varphi)\right)^3| [/mm] $
wegen [mm] $|(\cos(\varphi)+\sin(\varphi))^3|<2
[/mm]
hast du dann [mm] |f(x,y|-f(0,0)|=|f(x,y)-0|<2r<\epsilon, [/mm] falls [mm] r\le \epsilon/2
[/mm]
Ists damit klarer?
Bei deinem [mm] $g(x,y)=\bruch{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}} [/mm] $
hast du [mm] \bruch{r^2*(cos(\varphi)+sin(\varphi))^2}{r^2(cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi))}
[/mm]
für verschiedene [mm] \varphi [/mm] und alle r -auch beliebig kleine - - verschiedene Werte
also keinen GW es gibt keine Umgebung von 0 in der f(x,y) nur um [mm] \epsilon [/mm] von einem wert f(0,0) abweicht.
einsprechend in deiner 1, fkt, in jeder Umgebung von 0 erreichst du beliebig hohe Werte für f.
aber nochmal, die Unstetigkeit kann man auch einfacher zeigen, die Stetigkeit nicht.
Gruss leduart
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