stetige Abbildung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien (X, [mm] \mathcal{X}) [/mm] und (Y, [mm] \mathcal{Y}) [/mm] topologische Räume. Wir nennen eine Abbildung f: X--> Y stetig im Punkt x [mm] \in [/mm] X, falls es für jede Umgebung U [mm] \subset [/mm] Y von f(x) eine Umgebung V [mm] \subset [/mm] X von x gibt, so dass f(V) [mm] \subset [/mm] U gilt. Zeige, dass eine Abbildung f:X-->Y genau dann stetig ist, wenn sie in jedem Punkt x [mm] \in [/mm] X stetig ist. |
Also was stetige Abbildungen haben wir so definiert:
Stetigkeit:
f heißt (punktweise) stetig im Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] M, wenn gilt:
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x [mm] \in [/mm] M mit [mm] d_{mM}(x, [/mm] x0) < δ gilt [mm] d_{N}(f(x), [/mm] f(x0)) < ε.
f heißt stetig, wenn f in jedem Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] M stetig ist.
Nun weiß ich aber nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Seien (X, [mm]\mathcal{X})[/mm] und (Y, [mm]\mathcal{Y})[/mm] topologische
> Räume. Wir nennen eine Abbildung f: X--> Y stetig im Punkt
> x [mm]\in[/mm] X, falls es für jede Umgebung U [mm]\subset[/mm] Y von f(x)
> eine Umgebung V [mm]\subset[/mm] X von x gibt, so dass f(V) [mm]\subset[/mm]
> U gilt. Zeige, dass eine Abbildung f:X-->Y genau dann
> stetig ist, wenn sie in jedem Punkt x [mm]\in[/mm] X stetig ist.
> Also was stetige Abbildungen haben wir so definiert:
>
> Stetigkeit:
> f heißt (punktweise) stetig im Punkt [mm]x_{0} \in[/mm] M, wenn
> gilt:
> ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x [mm]\in[/mm] M mit [mm]d_{mM}(x,[/mm] x0) < δ
> gilt [mm]d_{N}(f(x),[/mm] f(x0)) < ε.
> f heißt stetig, wenn f in jedem Punkt [mm]x_{0} \in[/mm] M stetig
> ist.
>
> Nun weiß ich aber nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll?
Jedenfalls nicht mit Deiner Definition von Stetigkeit. Die gilt nämlich nur für metrische Räume, in der Aufgabe ist aber von topologischen Räumen die Rede.
Also: Was bedeutet [mm] $f\colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ ist stetig, wobei $X$ und $Y$ topologische Räume sind?
Gruß,
Wolfgang
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f: X-->Y ist dann stetig, wenn die Urbilder von in Y offenen Mengen offen in X sind, d.h. wenn [mm] f^{-1}(\alpha) \in \mathcal{X} [/mm] für alle [mm] \alpha \in \mathcal{Y} [/mm] gilt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> f: X-->Y ist dann stetig, wenn die Urbilder von in Y
> offenen Mengen offen in X sind, d.h. wenn [mm]f^{-1}(\alpha) \in \mathcal{X}[/mm]
> für alle [mm]\alpha \in \mathcal{Y}[/mm] gilt.
Genau! Und nun zeige:
$f$ stetig im Punkt $x$ für jedes [mm] $x\in X\quad\gdw\quad [/mm] f$ stetig.
Ich fang mal mit [mm] $\Rightarrow [/mm] $ an:
Sei $U [mm] \in\cal [/mm] Y$ und [mm] $V=f^{-1}(U)\,.$ [/mm] Für jedes [mm] $x\in f^{-1}(U)$ [/mm] gibt es ein [mm] $V_x\in \cal [/mm] X$ mit [mm] $f(V_x)\subseteq [/mm] U$. Damit ist [mm] $V_x\subseteq [/mm] V$ und [mm] $V=\bigcup_{x\in V} V_x \in \cal X\,.$
[/mm]
Und jetzt Du!
Gruß,
Wolfgang
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