stetige Fortsetzung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:06 So 17.05.2009 | | Autor: | Dr.Sway |
| Aufgabe | Es seinen X und Y top. Räume, A [mm] \subset [/mm] X eine Teilmenge und f:A [mm] \to [/mm] Y eine stetige Abbildung (hier trägt A die Unterraumtopologie). Wenn A [mm] \subset [/mm] B [mm] \subset [/mm] X so ist eine stetige Abb. g:B [mm] \to [/mm] Y eine [mm]Fortsetzung[/mm] von f wenn g eingeschänkt auf A = f ist.
a) Lässt sich [mm] f [/mm] immer zu einer stetigen Abb. [mm] \overline{A} [/mm] : [mm] \to [/mm] Y fortsetzen? (Beweis oder Gegenbeispiel)
b) Angenommen, g : [mm] \overline{A} [/mm] : [mm] \to [/mm] Y ist eine stetige Fortsetzung von [mm] f [/mm]. Man zeige, dass [mm] g [/mm] durch [mm] f [/mm] eindeutig bestimmt ist, falls Y Hausdorffsch ist.
Man zeige, dass diese Folgerung im Allgemeinen nicht gilt, falls Y nicht Hausdorffsch ist. |
Hallo,
Ich konnte bis jetzt keine der beiden Teilaufgaben lösen, aber ich poste hier mal meine Überlegungen, vll ist ja was richtiges und brauchbares dabei.
zur a)
von der Aufgabenstellung her würd ich sagen, dass man es widerlegen sollte. (und man sollte möglichst keinen Hausdorffraum wählen wg aufgabe b )
Hab schon ein paar bsp duchgemacht
1) A = [mm] \overline{A} [/mm] dann ist es wahr
2) [mm] \overline{A} [/mm] = X [mm] \equiv [/mm] diskreter Top die bekanntlich unabhängig von Y ist, da alle mengen auf offene mengen abgebildet werden also g stetig
3) wenn man Y die indiskrete Topologie wählt kann auch nicht viel passieren
[mm] f^{-1}(\emptyset) [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] f^{-1}(Y) [/mm] = X also ist es auch unabhängig von g
4) ich denke hier sollte man ansetzen um was zu finden
A [mm] \subset \not= \overline{A} \subset \not= [/mm] X
aber so richtig weiter gekommen bin ich nicht
zur b)
Sei Y ein Hausdorffraum, d.h. [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists U_{x}, U_{y} \subset O_{Y} [/mm] mit x [mm] \in U_{x} [/mm] und y [mm] \in U_{y}, [/mm] wobei gilt dass [mm] U_{x} \cap U_{y} [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm] da [mm] f [/mm] stetig ist gilt
[mm] f^{-1}(U_{x}) [/mm] = [mm] V_{x} \subset [/mm] X offen
[mm] f^{-1}(U_{y}) [/mm] = [mm] V_{y} \subset [/mm] X offen
mit [mm] V_{y} \cap V_{x} [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
nunja das macht man nun [mm] \forall [/mm] y,x \ in Y und kann sagen dass f eindeutig ist weil man immer so disjunke Umgebungen hat
d.h. man muss noch den Rand von A betrachten, wenn A offen ist (sonst ist ja A = [mm] \overline{A} [/mm] ) um auf das g zu kommen. ab da komm ich nicht mehr weiter
btw ein gegenbeispiel ist mir auch noch nicht eingefallen
wäre nett wenn mir einer helfen würde und mir nen tipp geben würd
gruß,
sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 So 17.05.2009 | | Autor: | pelzig |
a) Betrachte X=[0,1] mit der Standarttopologie, A=(0,1] und die stetige Abbildung [mm] $f:A\ni x\mapsto 1/x\in [/mm] X$. Die lässt sich jedenfalls nicht stetig fortsetzen und X ist sogar hausdorffsch.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 So 17.05.2009 | | Autor: | Dr.Sway |
ja klar.
*AnsHirnKlatsch*
danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 25.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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