stetige Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 So 23.11.2008 | | Autor: | abakus86 |
| Aufgabe | Finde alle stetigen Funktionen [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit f(x+y)=f(x)+f(y)
Tipp: Man kann etwa zuerst alle [mm] f:\IQ \to \IR [/mm] suchen, die die Gleichung erfüllen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich brauche mal eine kleine Starthilfe. Was ist hier gemeint mit "finde alle stetigen Funktionen"?
Ist damit gemeint, dass z.B. f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2*f(0)=0
oder dasselbe für f(-x)=-f(x)?
Habe leider nicht verstanden was ich hier zeigen soll.
Das ist mein erster Beitrag hier. Sorry, falls ich die Regeln hier noch nicht ganz erfülle.
Danke schonmal für Tipps und Ansätze!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:27 Mo 24.11.2008 | | Autor: | snp_Drake |
Also gesucht sind alle Funktionen f(x+y) die die Gleichung f(x)+f(y) erfüllen, also alle, die bezüglich der Addition abgeschlossen sind.
wenn du dir mal einige Funktionen ansiehst, so merkst du, dass das längst nicht auf alle zutrifft.
Bsp:
[mm] f(x)=x^{2} [/mm] mit x=2, y=2
[mm] f(2+2)=4^{2}=16\not=f(2)+f(2)=2^{2}+2^{2}=8
[/mm]
Soviel mal als Denkanstoß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:01 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also gesucht sind alle Funktionen f(x+y) die die Gleichung
> f(x)+f(y) erfüllen, also alle, die bezüglich der Addition
> abgeschlossen sind.
was soll denn hier heißen "bzgl. der Addition abgeschlossen"? Da sehe ich keinen Sinn in dieser Aussage (solche Aussagen machen Sinn, wenn man eine Addition in einem Körper, Vektorraum etc. definiert, aber bei Funktionen?). Zudem ist Deine Ausdrucksweise leider total irreführend:
$f(x+y)$ ist überhaupt keine Funktion, die Funktion heißt $f$, manche sprechen auch von der Funktion $f(x)$; aber von der Funktion $f(x+y)$ könnte man vll. bei festgehaltenem $y$ (oder $x$) sprechen; oder wenn man das als Nacheinanderschaltung von Funktionen auffassen würde (mit $+: [mm] \IR \times \IR \to \IR, [/mm] +(x,y):=x+y$ wäre das dann eine Funktion $g$ auf dem [mm] $\IR^2$ [/mm] definiert mit $g:=f [mm] \circ [/mm] +$).
Und $f(x)+f(y)$ ist auch keine Gleichung. Die Gleichung lautet $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
Wieso schmeißt Du einfach die Stetigkeit weg bzw. unterschlägst, dass $f$ als stetig gefordert wird? Es ist (mir jedenfalls) nicht klar, dass man einfach auf sie verzichten kann (vll. geht das, aber ich sehe gerade nicht, wieso)...
Wenn man sie hat, dann ist jedenfalls klar, dass solche Funktionen stets die Form $f(x)=m*x$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] (mit festem $m [mm] \in \IR$) [/mm] haben.
> wenn du dir mal einige Funktionen ansiehst, so merkst du,
> dass das längst nicht auf alle zutrifft.
>
> Bsp:
> [mm]f(x)=x^{2}[/mm] mit x=2, y=2
> [mm]f(2+2)=4^{2}=16\not=f(2)+f(2)=2^{2}+2^{2}=8[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:16 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Finde alle stetigen Funktionen [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit
> f(x+y)=f(x)+f(y)
>
> Tipp: Man kann etwa zuerst alle [mm]f:\IQ \to \IR[/mm] suchen, die
> die Gleichung erfüllen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo!
>
> Ich brauche mal eine kleine Starthilfe. Was ist hier
> gemeint mit "finde alle stetigen Funktionen"?
das heißt, dass Du alle Funktionen $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (für alle $x,y [mm] \in \IR$) [/mm] finden sollst, die zudem stetig sind.
> Ist damit gemeint, dass z.B.
> f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2*f(0)=0
> oder dasselbe für f(-x)=-f(x)?
Es könnte nützlich sein, solche Dinge zu folgern. Diese ergeben sich aber nicht aus der geforderten Stetigkeit von $f$, sondern aus der Gleichung [mm] $f(x+y)=f(x)+f(y)\,.$
[/mm]
> Habe leider nicht verstanden was ich hier zeigen soll.
>
> Das ist mein erster Beitrag hier. Sorry, falls ich die
> Regeln hier noch nicht ganz erfülle.
Was kann man sich (so nach und nach) überlegen?
Also:
[mm] $\bullet$ [/mm] $f(0)=0$
[mm] $\bullet$ [/mm] $f(-q)=-f(q)$ für alle $q [mm] \in \IQ$ [/mm]
[mm] $\bullet$ $f(m/n)=\frac{m}{n}*f(1)$ [/mm] für alle $m [mm] \in \IZ$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] (wobei $0 [mm] \notin \IN$)
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] $f(q)=q*f(1)$ für alle $q [mm] \in \IQ$
[/mm]
Und jetzt benutze die Stetigkeit von $f$ und die Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$, [/mm] um $f(x)=x*f(1)$ zu folgern:
Es sei $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] dann existiert eine Folge [mm] $(q_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] mit [mm] $q_n \to [/mm] x$. Die Stetigkeit von $f$ liefert daher [mm] $f(x)=f(\lim_{n \to \infty}(q_n))=...$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mi 26.11.2008 | | Autor: | gb85 |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und wäre sehr froh über Antworten, Hinweise und dergleichen...
Entschuldigt bitte, dass ich den Formeleditor noch nicht benutze, werde das aber in Zukunft tun...
(Speziell:
Hallo Marcel,
vorab: Schön, dass Du Dich in diesem Forum "rumtreibst"! Als Ersti/Anfänger ist man immer dankbar für kompetente Beratung...
Meine Fragen zu Deiner Antwort lauten:)
1. Du sagtest ja (in einer früheren Antwort), dass die gesuchten Funktionen alle von der Form f(x)=m*x für alle reellen Zahlen x und ein (festes, bel.?) reeles m sind.
Dass laut Vorschrift f(q)=q*f(1) für alle rationalen Zahlen q gilt, kann ich zeigen, auch, dass wenn f für alle rationalen Zahlen stetig ist, f auch für alle reellen Zahlen stetig ist (--> Grenzwertdefinition von Stetigkeit und Darstellbarkeit jeder reellen Zahl als Grenzwert durch eine rationale Folge), aber:
Wie kommst Du von f(q)=q*f(1) für alle rationalen Zahlen q bzw. f(x)=x*f(1) für alle reellen Zahlen x auf die allgemeine Lösung: f(x)=m*x für alle reellen Zahlen x und eine (bel., konst.?) reelle Zahl m?
2. Ich muss doch auch erst noch die Stetigkeit der gefundenen Funktionen für alle rationalen Zahlen nachweisen oder geht das schon daraus hervor?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Nenne einfach f(1)=m und f(1) kannst du beliebig waehlen.
2. dass f(x)=mx stetig ist ist nicht das Problem, sondern du musst erst noch f(x) fuer reelle zahlen aus f(q) herstellen. dafuer nimmst du [mm] q_n [/mm] das gegen r konvergiert und betrachtest [mm] f(q_n) [/mm] dabei musst du verwenden, dass f stetig sein soll. damit kommst du dan auf f(x)=f(1)*x=m*x
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Mi 26.11.2008 | | Autor: | gb85 |
Danke für Deine Antwort!
1. Sowas Ähnliches habe ich mir schon gedacht, war mir aber nicht ganz sicher...
2. Und ja, die Stetigkeit ist nicht das Problem, wenn man wie wir aus der Vorlesung weiß, dass jede konstante Funktion g von R nach R mit g(x)=m (für alle reellen x und reelles, konst., beliebiges m) stetig ist und die Identitätsfunktion id von R nach R id(x)=x (für alles x aus R) stetig ist und man ebenfalls benutzen darf, dass dann auch das Produkt der Funktionen g*id mit (g*id)(x)=f(x)=m*x stetig ist (für alle x...) 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo gb85,
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> wäre sehr froh über Antworten, Hinweise und dergleichen...
> Entschuldigt bitte, dass ich den Formeleditor noch nicht
> benutze, werde das aber in Zukunft tun...
solange alles, was Du schreibst, eindeutig lesbar ist, kann man da bis zu einem gewissen Grad noch drüber hinwegsehen (ich jedenfalls).
> (Speziell:
> Hallo Marcel,
>
> vorab: Schön, dass Du Dich in diesem Forum "rumtreibst"!
> Als Ersti/Anfänger ist man immer dankbar für kompetente
> Beratung...
Danke 
> Meine Fragen zu Deiner Antwort lauten:)
> ...
Leduart hat sie ja, denke ich, in kompetenter Weise beantwortet. Ansonsten einfach nochmal weiter nachfragen (manchmal fällt einem ja auch erst später nochmal eine Frage ein, wo man anfangs dachte, dass man da keine Frage mehr zu hatte).
Gruß,
Marcel
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