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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Phys |
in unserem Aufgabenblatt ist folgende (meiner meinung nach:unlösbare Aufgabe für die ich nichtmal nen Lösungsansatz habe:
Sei I=[0,1] und V= [mm] C^{1}(I) [/mm] versehen mit der Norm:
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] = [mm] \max_{x\in I}\wurzel{ |f(x) |^2+|f'(x)|^2}
[/mm]
und [mm] V_{0} [/mm] der Raum [mm] C^1(I) [/mm] versehen mit der Norm [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{ \infty}= \max_{x\in I}|f(x)|.Sei [/mm] W=C(I) mit der Norm [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{ \infty}= \max_{x\in I}|f(x)| [/mm] überprüfen sie die Stetigkeit von [mm] D_{1}:V \to [/mm] W,f [mm] \to [/mm] f'und [mm] D_{2}:V_{0} \to [/mm] W,f [mm] \to [/mm] f' und dann soll noch gegebenenfalls [mm] \parallel D_{1} \parallel [/mm] bestimmt werden. Ich wäre für jede Hilfe sehr dankbar, da ich momentan zeimlich auf dem schlauch steh(also keinen Ansatz habe)
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Hallo phys,
erstmal: ruhig blut! denn von unlösbarkeit ist diese aufgabe meilenweit entfernt....
also, du hast hier verschiedene funktionenräume mit verschiedenen normen gegeben und sollst prüfen, ob der ableitungsoperator jeweils stetig ist.
Zunächst mal ist der Abl.operator ja linear. Wie kann man also die stetigkeit charakterisieren? hat man einen linearen Op. [mm] $D:X\to [/mm] Y$ dann ist dieser gd. stetig, wenn es eine konstante $C$ gibt mit [mm] $\|Dx\|_Y\le C\cdot \|x\|_X,\forall x\in [/mm] X$. Die kleinste solche Konstante $C$ nennt man dann die Operatornorm [mm] $\|D\|$ [/mm] des Operators.
Nehmen wir also mal [mm] $D_1:V\to [/mm] W, [mm] f\mapsto [/mm] f'$. Du musst prüfen, ob du die [mm] $C^0$-Norm, [/mm] also die maximum-norm, der ableitung durch die [mm] $C^1$-Norm [/mm] der funktion abschätzen kannst. es gilt doch aber
[mm] $\|f'\|_\infty=\max_{x \in I}|f'(x)|\le \max_{x \in I}\wurzel{ |f(x) |^2+|f'(x)|^2}=\|f\|_V$
[/mm]
[mm] $D_1$ [/mm] ist also stetig! Und [mm] $\|D_1\|$ [/mm] haben wir nebenbei auch schon bestimmt, siehst du das? [mm] $D_2$ [/mm] kannst du ja jetzt selbst mal untersuchen.
Gruß
Matthias
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