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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mi 16.04.2008 | | Autor: | mini111 |
| Aufgabe | untersuchen sie in welchen punkten die folgenden funktionen [mm] f_{j}:\IR^2 \to \IR,j=1 [/mm] stetig sind.
(a) [mm] f_{1}(x,y):=\bruch{sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}, (x,y)\not=(0,0), f_{1}(0,0):=1 [/mm] |
hallo,
kann mir jemand zeigen wie ich bei dieser aufgabe stetigkeit prüfe?ich weiß einfach nicht wie ich da vorgehen muss.
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Mi 16.04.2008 | | Autor: | lenz |
bin auch nicht so der held was das zeigen von stetigkeit angeht
aber ich glaube da [mm] sin,x^{2},y^{2} [/mm] stetig sind auch deren verkettung
und es geht eigentlich nur darum ws bei 0 passiert.das müßte da 0 [mm] \le [/mm] sin [mm] x^{2} \le [/mm] 1
gegen unendlich gehen.für x,y gegen 0.wie man es korrekt aufschreibt hab ich keine ahnung
sorry war quatsch,
das problem ist das nenner und zähler gegen 0 gehen da kann man nicht so leicht den grenzwert bilden
im grunde mit l'hospital oder den sin als summe aufschreiben
wenn ihr das schon hattet.
kann gut sein dass das auch unsinn ist
gruß lenz
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> untersuchen sie in welchen punkten die folgenden funktionen
> [mm]f_{j}:\IR^2 \to \IR,j=1[/mm] stetig sind.
> (a) [mm]f_{1}(x,y):=\bruch{sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}, (x,y)\not=(0,0), f_{1}(0,0):=1[/mm]
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> hallo,
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> kann mir jemand zeigen wie ich bei dieser aufgabe
> stetigkeit prüfe?ich weiß einfach nicht wie ich da vorgehen
> muss.
>
> grüße
Hallo mini111,
die Funktion hat eine sehr angenehme Eigenschaft, die du ausnützen solltest: sie ist rotationssymmetrisch (die z-Achse ist Rotationsachse!).
Stell' dir den Graph der Funktion als Fläche im Raum vor und lege dann einen Schnitt (z.B. in der x-z-Ebene liegend) vor. Dann sollte sich alles weitere ergeben...
Hoffe, diese Tipps helfen dir weiter.
Gruss Al-Ch.
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Wie sieht man die Rotationssymmetrie ?
Tipp dazu: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] , wobei r der Abstand von O(0/0) in der x-y-Ebene ist !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Do 17.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo mini,
kritisch ist hier nur der Punkt (0,0). Um dort Stetigkeit zu zeigen, mußt du zeigen, daß für jede Folge [mm] $a_n$ [/mm] in [mm] $\IR^2$ [/mm] mit [mm] $a_n \to [/mm] (0,0)$ gilt [mm] $\lim_{n \to \infty} f(a_n) [/mm] = 1$.
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:13 Do 15.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> untersuchen sie in welchen punkten die folgenden funktionen
> [mm]f_{j}:\IR^2 \to \IR,j=1[/mm] stetig sind.
> (a) [mm]f_{1}(x,y):=\bruch{sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}, (x,y)\not=(0,0), f_{1}(0,0):=1[/mm]
Auch wenn die Frage schon etwas aelter ist, hier noch eine allgemeine Anmerkung:
man kann diese Funktion betrachten als Verkettung, also [mm] $f_1 [/mm] = g [mm] \circ [/mm] h$ mit $h : [mm] \IR^2 \to \IR$, [/mm] $(x, y) [mm] \mapsto x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] und $g : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto \frac{\sin x}{x}$ [/mm] mit $g(0) = 1$.
Als Polynom ist $h$ natuerlich stetig. Und die Stetigkeit von $g$ kann man auch schnell nachpruefen (sieht man besonders schnell ueber die Potenzreihenentwicklung).
(Diese ``Aufsplittungsmethode'' funktioniert nicht immer, aber z.B. hier erspart sie etwas Arbeit -- wenn man denn schon hatte, das Verkettungen von stetigen Funktionen stetig sind  )
LG Felix
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