stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Do 09.06.2005 | | Autor: | nas181 |
hallo,ich habe problem mit stetigkeit,irgendwie kann ich die frage nicht logisch und mit theorien beantworten,hier ist ein beispiel
ich bin sehr bedakbar für ihren hilfe (im voraus)
[mm] f(x)=\begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ 0 } \end{cases}
[/mm]
zeige, dass f in x=0unstetig ist und dass f die zwischenweteigenschaft besitzt
vielen dank!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Do 09.06.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
also in [mm] \IR [/mm] bedeutet Stetigkeit jetzt mal unmathematisch ausgedrückt, dass man den Graphen mit einem Strich zeichnen kann.
Und dass kann man mit deiner Funktion schonmal nicht. Jetzt gilt dies natürlich zu beweisen die ist mit der Grenzwertbetrachtung ganz einfach. Du muss einfach den Grenzwert von sin 1/x gegen 0 laufen lassen. Da 1/x bei der Grenzwertbildung gegen [mm] \infty [/mm] läuft folgt daraus, dass der Grenzwer von sin 1/x gegen 1 läuft.
Daraus folgt die Behauptung wenn der Graph gegen 1 läuft er aber im Ursprung 0 sein soll geht das nicht also nicht stetig.
Hast du auch ein Problem mit der Zwischenwerteigentschaft?(Nachfrage stellen)
MFG
Shaguar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Do 09.06.2005 | | Autor: | nas181 |
ja genau,ich glaube es ist klar das sin den zwischenwertsatz besitzt da er negativ und postiv werte hat aber mein problem ist dass wie ich das mathematisch zeigen kann
ich dank dir sehr und jeder der weiter hilft
vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Do 09.06.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
Deine Funktion
[mm] $f(x)=\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{für } x \not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}$ [/mm]
ist für jedes kompakte Intervall [mm] $\IR_{\;>0} \supset I_0=[a_0,\;b_0]$ [/mm] ($0 < [mm] a_0 \le b_0$) [/mm] bzw. [mm] $\IR_{\;<0} \supset I_1=[a_1,\;b_1]$ ($a_1 \le b_1 [/mm] < 0$) als Verknüpfung der stetigen Funktionen [mm] $g(x)=\sin(x)$ ($\forall [/mm] x [mm] \not=0$) [/mm] und [mm] $h(x)=\frac{1}{x}$ $\forall [/mm] x [mm] \not=0$ [/mm] stetig ($f(x)=(g [mm] \circ [/mm] h) (x)$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \not=0$), [/mm] und genügt dann dort den Voraussetzungen des Zwischenwertsatzes.
--
Ist nun [mm] $\IR \supset I=[a,\;b]$ [/mm] ein kompaktes Intervall mit $a < 0 < b$, so betrachten wir für [mm] $m:=\min\{|a|,\;|b|\}$, $n_0:=\min\left\{n \in \IN:\;\frac{2}{\pi*(1+4n)}0}$ [/mm] (beachte auch: nach Konstruktion gilt [mm] $\IR_{\;>0} \supset [/mm] J [mm] \subset [/mm] [a,b]$, sowie $J$ kompakt).
Dann gilt:
$f$ ist als Verknüpfung der stetigen Funktionen [mm] $g(x)=\sin(x)$ ($\forall$ [/mm] $x [mm] \not=0$) [/mm] und [mm] $h(x)=\frac{1}{x}$ ($\forall$ [/mm] $x [mm] \not=0$) [/mm] ($f(x)=(g [mm] \circ [/mm] h)(x)$ [mm] ($\forall$ [/mm] $x [mm] \not=0$)) [/mm] stetig auf $J [mm] \subset \IR_{\;>0}$. [/mm] Weiter: [mm] $f\left(\frac{2}{\pi*(3+4n_0)}\right)=\sin\left(\frac{3}{2}*\pi+n_0*2\pi\right)=-1$ [/mm] , [mm] $f\left(\frac{2}{\pi*(1+4n_0)}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+n_0*2\pi\right)=1$ [/mm] und weil die Funktion [mm] $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] ($x [mm] \not=0$) [/mm] eh nur Werte zwischen (einschließlich) $-1$ und $1$ annimmt (Beweis bzw. Begründung?) und wenn wir uns dann einen solchen Wert [mm] $z_0 \in [-1,\;1]$ [/mm] vorgeben, so finden wir wegen des ZWS'es, angewendet auf die auf dem Intervall [mm] $\IR_{\;>0} \supset \red{J} \subset I=[a,\;b]$ [/mm] stetige Funktion $f$ (d.h. [mm] $f_{|J}$ [/mm] ist stetig!) ein [mm] $x_0 \in [/mm] J [mm] \subset [a,\;b]=I$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)=z_0$. [/mm] (Und wegen $f(0)=0 [mm] \in [-1,\;1]$ [/mm] gilt hier [mm] $f(\IR)=[-1,\;1]$ [/mm] und damit sind wir fertig!)
--
Die Behauptung für das Intervall [mm] $[0,\,0]$ [/mm] ist trivial!
Für ein Intervall der Art $[0, a]$ ($a > 0$) verfährst du genauso wie zwischen den Strichen -- --, wobei du nur $m$ durch $m:=a$ zu ersetzen hast.
Für ein Intervall der Art $[a,0]$ ($a < 0$) gehst du analog vor wie zwischen den Strichen -- --:
Setze $m:=|a|$ und finde [mm] $n_0$ [/mm] genauso. Dann betrachte die Einschränkung von $f$ auf das Intervall [mm] $J:=\left[-\;\frac{2}{\pi*(1+4n_0)},\;-\;\frac{2}{\pi*(3+4n_0)}\right]$ [/mm] und wende dann darauf den ZWS an!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Fr 10.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> ist für jedes kompakte Intervall [mm]\IR_{\;>0} \supset I_0=[a_0,\;b_0][/mm]
> ([mm]0 < a_0 \le b_0[/mm]) bzw. [mm]\IR_{\;<0} \supset I_1=[a_1,\;b_1][/mm]
> ([mm]a_1 \le b_1 < 0[/mm]) als Verknüpfung der stetigen Funktionen
> [mm]g(x)=\sin(x)[/mm] ([mm]\forall x \not=0[/mm]) und [mm]h(x)=\frac{1}{x}[/mm]
> [mm]\forall x \not=0[/mm] stetig ([mm]f(x)=(g \circ h) (x)[/mm] [mm]\forall x \not=0[/mm]),
> und falls [mm]f(a_0)*f(b_0)<0[/mm] bzw. [mm]f(a_1)*f(b_1)<0[/mm] gilt, dann
> genügt [mm]f[/mm] dort den Voraussetzungen des Zwischenwertsatzes.
Das ist klar, aber ...
> Ist nun [mm]\IR \supset I=[a,\;b][/mm] ein kompaktes Intervall mit
> [mm]a < 0 < b[/mm] und [mm]f(a)*f(b)<0[/mm], so ist auch [mm]0 \in I[/mm] und daher
> ist wegen [mm]f(0)=0[/mm] nichts mehr zu zeigen!
könntest du das bitte nochmal ausführen? Gut, auf jedem Intervall links von 0,jedem rechts von 0 gilt der Zwischenwertsatz. Du musst ihn aber über die Intervallgrenzen retten, man will also zeigen, daß für einen Wert links und einen rechts jeder Wert dazwischen angenommen wird. Warum die Funktion die Eigenschaft erfüllt, liegt an der Oszilation gegen die y-Achse. Ich meine eine Funktion, die an 0 einen Sprung macht, würde deinen Vorraussetzungen immer noch entsprechene - aber die Aussage ist dann falsch.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Secki!
> > ist für jedes kompakte Intervall [mm]\IR_{\;>0} \supset I_0=[a_0,\;b_0][/mm]
> > ([mm]0 < a_0 \le b_0[/mm]) bzw. [mm]\IR_{\;<0} \supset I_1=[a_1,\;b_1][/mm]
> > ([mm]a_1 \le b_1 < 0[/mm]) als Verknüpfung der stetigen Funktionen
> > [mm]g(x)=\sin(x)[/mm] ([mm]\forall x \not=0[/mm]) und [mm]h(x)=\frac{1}{x}[/mm]
> > [mm]\forall x \not=0[/mm] stetig ([mm]f(x)=(g \circ h) (x)[/mm] [mm]\forall x \not=0[/mm]),
> > und falls [mm]f(a_0)*f(b_0)<0[/mm] bzw. [mm]f(a_1)*f(b_1)<0[/mm] gilt, dann
> > genügt [mm]f[/mm] dort den Voraussetzungen des Zwischenwertsatzes.
>
> Das ist klar, aber ...
>
> > Ist nun [mm]\IR \supset I=[a,\;b][/mm] ein kompaktes Intervall mit
> > [mm]a < 0 < b[/mm] und [mm]f(a)*f(b)<0[/mm], so ist auch [mm]0 \in I[/mm] und daher
> > ist wegen [mm]f(0)=0[/mm] nichts mehr zu zeigen!
>
> könntest du das bitte nochmal ausführen? Gut, auf jedem
> Intervall links von 0,jedem rechts von 0 gilt der
> Zwischenwertsatz. Du musst ihn aber über die
> Intervallgrenzen retten, man will also zeigen, daß für
> einen Wert links und einen rechts jeder Wert dazwischen
> angenommen wird. Warum die Funktion die Eigenschaft
> erfüllt, liegt an der Oszilation gegen die y-Achse. Ich
> meine eine Funktion, die an 0 einen Sprung macht, würde
> deinen Vorraussetzungen immer noch entsprechene - aber die
> Aussage ist dann falsch.
Ja, danke für den Hinweis; ich werde die Antwort ändern (irgendwie war ich da wohl eh verwirrt, dieses $f(a)*f(b)<0$ etc. braucht man nicht, das werde ich auch ändern....)...
Viele Grüße,
Marcel
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Woher weißt du denn, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] sin x = 1 ist?
Die Sinusfunktion nimmt doch periodisch die Werte [-1,1] an, kann man dann einfach sagen, dass sie in der Unendlichkeit den Wert 1 annimmt? Irgendwie hab ich da meine Probleme mit. Würd mich über eine Aufklärung freuen!
TranVanLuu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Do 09.06.2005 | | Autor: | Marcel |
Hi!
> Woher weißt du denn, dass [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] sin
> x = 1 ist?
Das ist auch falsch. [mm] $\lim_{x \to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] existiert nicht!
(Begründung:
Für [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] wie hier [mm] ($\leftarrow$ [blue]click it![/blue]) gilt:
$\lim_{n \to \infty}f(a_n)=1$.
Betrachtet man aber die Folge $(b_n)_{n \in \IN}$ definiert durch $b_n:=\frac{1}{\pi(1+2n)}$ $\forall n \in \IN$, so folgt:
$\lim_{n \to \infty}f(b_n)=\lim_{n \to \infty}\sin\left(\pi+n*2\pi\right)=\sin\left(\pi\right)=0 \not=1 =\lim_{n \to \infty} f(a_n)$, obwohl $\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} b_n=0$.)
> Die Sinusfunktion nimmt doch periodisch die Werte [-1,1]
> an, kann man dann einfach sagen, dass sie in der
> Unendlichkeit den Wert 1 annimmt? Irgendwie hab ich da
> meine Probleme mit. Würd mich über eine Aufklärung freuen!
Gemeint war vermutlich eher die Argumentation mit der Folge $(a_n)_{n \in \IN}$ wie in dem obigen Link beschrieben!
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Do 09.06.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nas!
> hallo,ich habe problem mit stetigkeit,irgendwie kann ich
> die frage nicht logisch und mit theorien beantworten,hier
> ist ein beispiel
> ich bin sehr bedakbar für ihren hilfe (im voraus)
> [mm]f(x)=\begin{cases} sin(1/x), & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ 0 } \end{cases}[/mm]
>
> zeige, dass f in x=0unstetig ist
Betrachte die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=\frac{2}{\pi(1+4n)}$ ($\forall [/mm] n [mm] \in \IN$). [/mm] Dann gilt:
[mm] $\lim_{n \to \infty} a_n=0$ [/mm] (und [mm] $a_n [/mm] > 0$ [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$), [/mm] aber:
[mm] $\lim_{n \to \infty} f(a_n)=\lim_{n \to \infty}\sin\left((1+4n)*\frac{\pi}{2}\right)=\lim_{n \to \infty}\sin\left(\frac{\pi}{2}+n*2\pi\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\not=0=f(0)$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Do 09.06.2005 | | Autor: | nas181 |
vielen dank ich habe es apiert aber ich finde es schwer so folgen zu finden die folge ist doch kompliziert oder???wie soll ich drauf kommen?gibt es ein trick oder wie läuft es?
genau noch muss ich zeigen dass f(x)den zwischenwerteigenschaften hat,mir es ist klar aber wie zeige ich das
tut mir leid aber nächste woche habe ich klausur und muss das endlich verstehen
vielen dank!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> vielen dank ich habe es apiert aber ich finde es schwer so
> folgen zu finden die folge ist doch kompliziert oder???wie
> soll ich drauf kommen?gibt es ein trick oder wie läuft es?
Naja, du findest die Folgen einfach durch "Konstruktion":
Du weißt doch zum einen [mm] ($2\pi$-Periodizität [/mm] des [mm] $\sin$):
[/mm]
[mm] $\sin\left(\frac{\pi}{2}+n*2\pi\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Jetzt suchen wir eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$, [/mm] so dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm]\frac{1}{a_n}=\frac{\pi}{2}+n*2\pi[/mm] (Da die Funktion ja definitionsgemäß [mm] $f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm] lautet und wenn wir die Folge so konstruieren (können), dann gilt ja:
[mm] $f(a_n)=\sin\left(\frac{1}{a_n}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+n*2\pi\right)=1$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$, [/mm] also auch:
[mm] $\lim_{n \to \infty}f(a_n)=\lim_{n \to \infty}1=1$!)
[/mm]
Also:
[mm] $a_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n*2\pi}=\frac{2}{\pi+4n*\pi}=\frac{2}{\pi(1+4n)}$ [/mm] und siehe da:
[mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist, wie gewünscht, eine Nullfolge mit [mm] $a_n [/mm] > 0$ (also insbesondere [mm] $a_n \not=0$) $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] (und nach Konstruktion gilt:
[mm] $\lim_{n \to \infty}f(a_n)\stackrel{da\;a_n \not=0\;\forall n \in \IN}{=}\lim_{n \to \infty}\sin\left(\frac{1}{a_n}\right)=\lim_{n \to \infty}\sin\left(\frac{\pi}{2}+n*2\pi\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$). [/mm]
Und die Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] konstruierst du genauso:
Du weißt:
[mm] $\sin(\pi+n*2\pi)=0$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$, [/mm] und da [mm] $\pi [/mm] + n [mm] *2\pi \to \infty$ [/mm] ($n [mm] \to \infty$), [/mm] wird, wenn [mm] $(b_n)_n$ [/mm] gewählt wird durch [mm] $\frac{1}{b_n}=\pi+n*2\pi$ [/mm] wohl auch gelten müssen, dass [mm] $b_n \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Also versuchen wir das mal:
[mm] $\frac{1}{b_n}=\pi+n*2\pi$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $b_n=\frac{1}{\pi*(1+2n)}$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Und siehe da:
[mm] $\lim_{n \to \infty}b_n=0$, $b_n [/mm] > 0$ [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] und nach Konstruktion gilt:
[mm] $\lim_{n \to \infty}f(b_n)\stackrel{da\;b_n \not=0\;\forall n \in \IN}{=}\lim_{n \to \infty}\sin\left(\frac{1}{b_n}\right)=\lim_{n \to \infty}\sin\left(\pi+n*2\pi\right)=\sin(\pi)=0$. [/mm]
> genau noch muss ich zeigen dass f(x)den
> zwischenwerteigenschaften hat,mir es ist klar aber wie
> zeige ich das
> tut mir leid aber nächste woche habe ich klausur und muss
> das endlich verstehen
Siehe hier. Wobei es sein kann, dass ich da etwas falsch verstehe oder die Aufgabe mehr verlangt, als ich vermute (aber so verstehe ich die Aufgabe bei dieser Formulierung)!
Viele Grüße,
Marcel
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