stückweise stetig differenz. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo und guten Rutsch ins Neue Jahr !
Sei X,Y metrische Räume , [mm] \gamma:[0,1]\to [/mm] X eine stetige stückweise stetig differenzierbare Abbildung , f : [mm] X\to [/mm] Y stetig .
Ist dann [mm] f\circ \gamma [/mm] stückweise stetig differenzierbar ?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo und guten Rutsch ins Neue Jahr !
>
> Sei X,Y metrische Räume , [mm]\gamma:[0,1]\to[/mm] X eine stetige
> stückweise stetig differenzierbare Abbildung , f : [mm]X\to[/mm] Y
> stetig .
>
> Ist dann [mm]f\circ \gamma[/mm] stückweise stetig differenzierbar
> ?
ich sehe dazu keinen Grund, wenn man an [mm] $f\,$ [/mm] nicht auch noch Differenzierbarkeitseigenschaften fordert. Es gibt ja durchaus eine stetige Funktion [mm] $f\,,$ [/mm] die nirgends differenzierbar ist. Probier' mal, ob Du mit solch' einem [mm] $f\,$ [/mm] beweisen kannst, dass Deine Frage i.a. mit "Nein!" zu beantworten ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 01.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
meine obige Frage bezieht sich auf ![[]](/images/popup.gif) CAS01.pdf , Exercise H3(a) und "hints for solution" zu H3(a) (auf englisch)
In unserem Skript wird eine Kurve als stetige Abbildung [mm] [a,b]\to [/mm] X definiert.
"Path"(Weg) wird als stückweise stetig differenzierbare Kurve definiert.
Beim Link ist f stetig und surjektiv, [mm] \gamma [/mm] ist ein "path". In der Lösung steht dann , dass [mm] f\circ\gamma [/mm] auch ein "path" ist, also stückweise stetig differenzierbar.
Wie siehst Du es ? Trägt vielleicht die Surjektivität dazu bei, dass [mm] f\circ\gamma [/mm] stückweise stetig differenzierbar wird?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 So 01.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Igor,
> Hallo,
>
> meine obige Frage bezieht sich auf
> CAS01.pdf , Exercise H3(a) und "hints for solution" zu H3(a) (auf englisch)
>
> In unserem Skript wird eine Kurve als stetige Abbildung
> [mm][a,b]\to[/mm] X definiert.
> "Path"(Weg) wird als stückweise stetig differenzierbare
> Kurve definiert.
>
> Beim Link ist f stetig und surjektiv, [mm]\gamma[/mm] ist ein
> "path". In der Lösung steht dann , dass [mm]f\circ\gamma[/mm] auch
> ein "path" ist, also stückweise stetig differenzierbar.
>
>
>
> Wie siehst Du es ? Trägt vielleicht die Surjektivität
> dazu bei, dass [mm]f\circ\gamma[/mm] stückweise stetig
> differenzierbar wird?
ich sehe es so, dass auch die Surjektivität von [mm] $f\,$ [/mm] die "stückweise-stetige- Differenzierbarkeit" von $f [mm] \circ \gamma$ [/mm] nicht erzwingt (das heißt aber nicht automatisch, dass ich recht habe). Ich sehe jedenfalls momentan keinen Grund, warum das so sein sollte.
Leider kann ich auf Deinen Link nicht zugreifen. Eben ging's mal kurz, aber es hat nicht gereicht, um die Datei herunterzuladen (mein Internet ist eh lahm). Ist [mm] $f\,$ [/mm] wirklich nur stetig und surjektiv? Oder gibt's noch weitere Eigenschaften, die [mm] $f\,$ [/mm] hat (die vllt. nur vom Autor nicht nochmal explizit erwähnt werden)?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 So 01.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Igor,
ich habe nun in die Lösung gucken können:
Wenn Du die Aufgabenstellung nochmal liest, wirst Du sehen, dass dort steht, dass [mm] "$f\,$ [/mm] is a map" dort steht. Diesen Begriff kenne ich etwa aus meinem Minimalwissen aus der Differentialgeometrie. Vermutlich habt ihr den Begriff nochmal sauber definiert: Schau' mal rein, ob da dann etwas von der Differenzierbarkeit mitdrinsteckt!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Marcel,
ich denke , dass "map" einfach Abbildung bedeutet.
Wenn in "map" Differenzierbarkeit stecken würde, dann würde man wahrscheinlich das Wort continuous in "continuous map" streichen.
In meinem Skript habe ich nichts bezüglich der Definition von "map" gefunden.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Igor,
> Hallo Marcel,
>
> ich denke , dass "map" einfach Abbildung bedeutet.
ja stimmt, das kann sein. Ich muss vielleicht mal mehr englische mathematische Literatur lesen - irgendwie ist mir das total entfallen, dass map meistens Abbildung bedeutet. Naja, ich würde mal den-/diejenigen ansprechen, der/die die Lösung geschrieben hat. Vielleicht ist da einfach nur etwas verlorengegangen. Das kann schnell mal passieren, sorgt dann aber eben manchmal zu Missverständnissen. Ich sehe jedenfalls nicht, warum die "path"-Eigenschaft von $f [mm] \circ \gamma$ [/mm] folgt, wenn man [mm] $f\,$ [/mm] nur als stetige und surjektive Abbildung voraussetzt. Wenn ich da was übersehe, interessiert's mich natürlich auch, was ich da übersehe ^^
Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Mo 02.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und guten Rutsch ins Neue Jahr !
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> Sei X,Y metrische Räume , [mm]\gamma:[0,1]\to[/mm] X eine stetige
> stückweise stetig differenzierbare Abbildung , f : [mm]X\to[/mm] Y
> stetig .
>
> Ist dann [mm]f\circ \gamma[/mm] stückweise stetig differenzierbar
> ?
Nein. Nimm X= [mm] \IR, [/mm] Y=[0, [mm] \infty)
[/mm]
[mm] \gamma(t):=t^3*sin(1/t) [/mm] für t [mm] \in(0,1], \gamma(0):=0
[/mm]
und f(x):=|x|
FRED
>
>
> Gruss
> Igor
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo und guten Rutsch ins Neue Jahr !
> >
> > Sei X,Y metrische Räume , [mm]\gamma:[0,1]\to[/mm] X eine stetige
> > stückweise stetig differenzierbare Abbildung , f : [mm]X\to[/mm] Y
> > stetig .
> >
> > Ist dann [mm]f\circ \gamma[/mm] stückweise stetig differenzierbar
> > ?
>
> Nein. Nimm X= [mm]\IR,[/mm] Y=[0, [mm]\infty)[/mm]
>
> [mm]\gamma(t):=t^3*sin(1/t)[/mm] für t [mm]\in(0,1], \gamma(0):=0[/mm]
>
> und f(x):=|x|
Danke. Das hat meine Vermutung bestätigt (@ Igor: Bei Freds Wahl erfüllen [mm] $f\,, \gamma$ [/mm] die Voraussetzung. $f [mm] \circ \gamma$ [/mm] hat aber abzählbar unendlich viele Nicht-Differenzierbarkeitsstellen (in jeder offenen Nullumgebung) - betrachte dazu mal Nullstellen von $t [mm] \mapsto \sin(1/t)$ [/mm] "rechts und nahe [mm] $0\,$" [/mm] (es ist ja [mm] $\sin(1/t)=\sin(1/|t|)$ [/mm] für $t > 0$):
Du weißt sicherlich
[mm] $$\sin(n*2\pi)=0$$
[/mm]
(meinetwegen kannst Du auch [mm] $\sin(n*\pi)=0$ [/mm] benutzen!)
für alle natürlichen [mm] $n\,,$ [/mm] daher benutze ich in der Gleichung
[mm] $$\sin(1/t)=0$$
[/mm]
nun mal [mm] $t=t_n$ [/mm] definiert durch die Gleichung [mm] $1/t_n=n*2\pi\,.$ [/mm] D.h. [mm] $t_n:=\ldots$ [/mm] (Dein kleiner Part!) liefert [mm] $t_n [/mm] > 0$ und [mm] $t_n \to \ldots$ [/mm] (wieder mal bist Du dran)...
Zeige nun, dass $f [mm] \circ \gamma$ [/mm] an diesen [mm] $t_n$ [/mm] nicht diff'bar ist...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Di 03.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Fred und Marcel,
Danke für Eure Antworten !
Es scheint , dass bei der Formulierung der Lösung der Aufgabensteller einen Fehler gemacht hat. Ich werde in der Uni diesbezüglich nachfragen.
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Do 05.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
in meinem Skript und im Internet (habe dort 3-4 Definitionen angeschaut) gibt es folgende Definition der stückweisen stetig differenzierbaren Abbildung [mm] \gamma: [/mm] [a,b] [mm] \to \IR^{n} [/mm] , [mm] \gamma [/mm] ist stetig.
Definition
Eine Kurve [mm] \gamma:[a,b] \to \IR^{n} [/mm] heißt stückweise stetig differenzierbar, wenn eine Zerlegung [mm] a=t_{0}
[mm] \gamma|_{[t_{i},t_{i+1}]} [/mm] stetig differenzierbar ist, [mm] i\in \{0,...,k\}.
[/mm]
Meine Frage dazu:
Soll es nicht [mm] \gamma|_{(t_{i},t_{i+1})} [/mm] anstatt [mm] \gamma|_{[t_{i},t_{i+1}]} [/mm] sein?
Mit geschlossenen Klammern würde , denke ich, wenig Sinn ergeben.
Denn, dann würde [mm] \gamma [/mm] überall stetig differenzierbar sein.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Do 05.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> in meinem Skript und im Internet (habe dort 3-4
> Definitionen angeschaut) gibt es folgende Definition der
> stückweisen stetig differenzierbaren Abbildung [mm]\gamma:[/mm]
> [a,b] [mm]\to \IR^{n}[/mm] , [mm]\gamma[/mm] ist stetig.
>
> Definition
> Eine Kurve [mm]\gamma:[a,b] \to \IR^{n}[/mm] heißt stückweise
> stetig differenzierbar, wenn eine Zerlegung
> [mm]a=t_{0}
> [mm]\gamma|_{[t_{i},t_{i+1}]}[/mm] stetig differenzierbar ist, [mm]i\in \{0,...,k\}.[/mm]
>
> Meine Frage dazu:
> Soll es nicht [mm]\gamma|_{(t_{i},t_{i+1})}[/mm] anstatt
> [mm]\gamma|_{[t_{i},t_{i+1}]}[/mm] sein?
Nein.
>
> Mit geschlossenen Klammern würde , denke ich, wenig Sinn
> ergeben.
> Denn, dann würde [mm]\gamma[/mm] überall stetig differenzierbar
> sein.
nein. Betrachte z.B: [mm] \gamma(t)=|t-1/2| [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0,1]
Mit [mm] t_0=0,t_1=1/2 t_2=1
[/mm]
FRED
>
>
> Gruss
> Igor
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Do 05.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Igor,
> Hallo,
>
> in meinem Skript und im Internet (habe dort 3-4
> Definitionen angeschaut) gibt es folgende Definition der
> stückweisen stetig differenzierbaren Abbildung [mm]\gamma:[/mm]
> [a,b] [mm]\to \IR^{n}[/mm] , [mm]\gamma[/mm] ist stetig.
>
> Definition
> Eine Kurve [mm]\gamma:[a,b] \to \IR^{n}[/mm] heißt stückweise
> stetig differenzierbar, wenn eine Zerlegung
> [mm]a=t_{0}
> [mm]\gamma|_{[t_{i},t_{i+1}]}[/mm] stetig differenzierbar ist, [mm]i\in \{0,...,k\}.[/mm]
>
> Meine Frage dazu:
> Soll es nicht [mm]\gamma|_{(t_{i},t_{i+1})}[/mm] anstatt
> [mm]\gamma|_{[t_{i},t_{i+1}]}[/mm] sein?
>
> Mit geschlossenen Klammern würde , denke ich, wenig Sinn
> ergeben.
> Denn, dann würde [mm]\gamma[/mm] überall stetig differenzierbar
> sein.
das stimmt nicht. Beachte:
Dass eine Funktion
$$f: [a,b] [mm] \to \IR$$
[/mm]
differenzierbar ist bedeutet per Definition, dass sie an jeder Stelle [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ differenzierbar ist, d.h. dass an jeder Stelle [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ der Limes
[mm] $$(I)\;\;\;\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
[/mm]
existiert. Die letzte oft so genutzte Notation "versteckt" eine Information: Wirklich zu lesen ist das als
[mm] $$\lim_{[a,b] \setminus \{x_0\} \ni x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\,,$$
[/mm]
so wie ich es etwa schreibe. Denn natürlich macht in dem Quotionten
[mm] $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
[/mm]
das [mm] $f(x)\,$ [/mm] nur für die [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereiches von [mm] $f\,$ [/mm] Sinn - ich betone das nochmal, eigentlich steckt die Information aber halt sofort mit drinne, wenn man [mm] $f(x)\,$ [/mm] schreibt. Damit man nicht durch [mm] $0\,$ [/mm] teilt, darf natürlich nicht [mm] $x=x_0$ [/mm] sein.
(Such' einfach mal etwa in dem SKript meines Profs: Skript Analysis in Bereichen wie "metrische Räume, Differentiation etc." nach den Notationen. Der hat das eigentlich immer ausführlich und sauber geschrieben und "verkürzte Notationen" definiert oder erklärt, wenn ich mich recht erinnere. Die Notationen sind recht allgemein erläutert, also auch, wie sie in metrischen Räumen verwendet werden und und und ...)
Deshalb ist es auch nicht wirklich ungerechtfertigt, etwa oben das [mm] $[a,b]\setminus \{x_0\} \ni [/mm] x [mm] \to x_0$ [/mm] einfach nur noch als $x [mm] \to x_0$ [/mm] unter dem Limes zu schreiben.
Wie wäre nun die Differenzierbarkeit von $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] oben dann an den Randstellen zu deuten?
Naja, $f'(a)$ ist dann nichts anderes als
[mm] $$\lim_{[a,b] \setminus \{a\} \ni x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{\substack{a < x \le b\\ x \to a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\,.$$
[/mm]
Weil [mm] $f\,$ [/mm] "links von [mm] $a\,$" [/mm] gar nicht definiert ist, kann das nur "der rechtsseitige Limes" sein.
Und genauso ist es oben:
Wenn Du [mm] $\red{\gamma}: [/mm] [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] hast und ein $a < t < [mm] b\,,$ [/mm] dann bedeutet die Differenzierbarkeit von
[mm] $$f_1:=\gamma_{|[a,t]}$$
[/mm]
nichts anderes als:
[mm] $f_1$ [/mm] (und [mm] $\red{\gamma}$) [/mm] ist an der Stelle [mm] $a\,$ [/mm] rechtsseitig differenzierbar. An jeder Stelle aus [mm] $(a,t)\,$ [/mm] ist [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $\red{\gamma}$ [/mm] (rechts- und linksseitig) differenzierbar (und die rechtsseitige und linksseitige Ableitung stimmen überein).
Weiter ist [mm] $f_1$ [/mm] an der Stelle [mm] $t\,$ [/mm] differenzierbar: Diese Aussage ist natürlich gleichbedeutend damit, dass [mm] $\red{\gamma}$ [/mm] (die ursprüngliche Funktion!) an der Stelle [mm] $t\,$ [/mm] linksseitig differenzierbar ist. Ist Dir das nun klar? (Beachte: [mm] $f_1$ [/mm] ist rechts von [mm] $t\,$ [/mm] gar nicht definiert).
Wenn ich nun also fordere, dass [mm] $f_1:=\gamma_{|[a,t]}$ [/mm] und [mm] $f_2:=\gamma_{|[t,b]}$ [/mm] differenzierbar sind, dann besagt diese Forderung insbesondere, weil [mm] $f_1$ [/mm] ja differenzierbar ist, dass [mm] $\red{\gamma}$ [/mm] an der Stelle [mm] $t\,$ [/mm] LINKSSEITIG diff'bar ist. Weil [mm] $f_2$ [/mm] differenzierbar ist, beinhaltet diese Forderung auch, dass [mm] $\red{\gamma}$ [/mm] an [mm] $t\,$ [/mm] rechtsseitig differenzierbar ist. An [mm] $t\,$ [/mm] hat [mm] $\red{\gamma}$ [/mm] also eine linksseitige und eine rechtsseitige Ableitung. Aber nirgends beinhaltet die Forderung der Diff'barkeit von [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] auch die Gleichheit dieser beiden "einseitigen Ableitungen".
Das Problem, das ich nämlich hatte und was Du vermutlich auch hast: Man kennt [mm] $\red{\gamma}$ [/mm] auf [mm] $[a,b]\,.$ [/mm] Dann denkt man, dass die Forderung etwa, dass [mm] $\gamma_{|[a,t]}$ [/mm] differenzierbar ist, bedeutet, dass [mm] $\gamma$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,t]$ differenzierbar ist - so ist es aber nicht:
Man vergißt halt leicht, dass [mm] $\gamma_{|[a,t]}$ [/mm] RECHTS von [mm] $t\,$ [/mm] keine Elemente des Definitionsbereichs mehr hat und tut in Gedanken so, als wenn es absolut klar wäre, dass man dort die Werte von [mm] $\red{\gamma}$ [/mm] nimmt (also [mm] $\gamma_{|[a,t]}$ [/mm] rechts von [mm] $t\,$ [/mm] mit [mm] $\gamma$ [/mm] fortsetzt und wieder mit beidseitigen Ableitungen an [mm] $t\,$ [/mm] arbeitet - das ist aber falsch).
Aber eben das macht man nicht: Diff'barkeit von [mm] $\gamma_{|[a,t]}$ [/mm] beinhaltet zwar insbesondere die linksseitige Diff'barkeit von [mm] $\red{\gamma}$ [/mm] an [mm] $t\,,$ [/mm] aber über die rechtsseitige von [mm] $\gamma$ [/mm] steht da erstmal gar nichts drin - wie denn auch?
Also:
Wenn's immer noch unklar ist: Schreibe Dir mal ganz explizit auf, wie die Einschränkung einer Funktion definiert ist (achte vor allem auf deren Definitionsbereich!!) UND wie man die Sprechweise "eine Funktion ist differenzierbar" definiert hat.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Do 05.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Marcel,
grossen super Dank für Deine sehr ausführliche Antwort !
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Diese Fragen bezüglich der Differenzierbarkeit auf abgeschlossenen Intervallen haben mich bis zum heutigen Tag begleitet. 
Nun hoffe ich , dass ich mit Hilfe Deiner Ausführung mehr davon verstehen werde. Ich habe Deine Antwort erstmal vielleicht einbisschen oberflächlich durchgelesen , habe aber dabei wichtige Stellen nachvollziehen können und werde auch später darein nochmal schauen (auch Deinen Link mit dem Skript), um es genauer unter die Lupe zu nehmen.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
> Das Problem, das ich nämlich hatte und was Du vermutlich
> auch hast: Man kennt [mm]\red{\gamma}[/mm] auf [mm][a,b]\,.[/mm] Dann denkt
> man, dass die Forderung etwa, dass [mm]\gamma_{|[a,t]}[/mm]
> differenzierbar ist, bedeutet, dass [mm]\gamma[/mm] für alle [mm]x \in [a,t][/mm]
> differenzierbar ist - so ist es aber nicht:
Ja, genau so war es.
Gruss
Igor
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