sup, inf, liminf, limsup, lim < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:47 Di 25.11.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Berechne sup, inf, lim, lim inf, lim sup (sofern wohldefniniert) für die folge
[mm] a_n= \wurzel[n]{2}+(-1-\bruch{1}{n})^n [/mm] |
hallo,
ich habe mehrere solcher aufgaben zu lösen, aber keinen plan, wie ich es richtig berechne!
meist setze ich einfach nur grafische verfahren ein, probiere oder denke loglisch nach...für die aufgabe komme ich so auf:
sup=4
inf=-2
lim inf: 4
lim sup:-2
da lim inf [mm] \not= [/mm] lim sup ex. lim nicht.
stimmt das?
wie berechne ich es "richtig"??
gruß und dank
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Hallo gigi!
Wie bist Du denn auf Deine Werte gekommen? Forme hier erst um, da solltest Du u.a. eine bekannte Folge erkennen:
[mm] $$a_n [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{2}+\left(-1-\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{2}+(-1)^n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 11:32 Di 25.11.2008 | | Autor: | gigi |
ja, die letzte kenn ich: lim [mm] (1+\bruch{1}{n})^n= [/mm] e.
und wie geh ich dann weiter vor? berechne ich den lim für alle folgen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Di 25.11.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo gigi!
Welche Häufungspunkte hat denn nun die genannte Folge?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Di 25.11.2008 | | Autor: | gigi |
wie berechne ich denn die häufungspunkte??
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Hallo gigi!
Betrachte hier die geraden Folgelieder und die ungeraden Folgenglieder separat. Man erhält dann:
[mm] $$a_n [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{2}+(-1)^n\cdot{}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \begin{cases} \wurzel[n]{2}+\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \wurzel[n]{2}-\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$$
[/mm]
Wie lauten diese beiden Grenzwerte? Das sind hier die einzigen beiden Häufungspunkte.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mi 26.11.2008 | | Autor: | gigi |
ah, ok, also immer irgendwie umformen, um 2 TF zu erhalten, deren grenzwertverhalten ich kenne--ist das die/eine strategie?? gibt es noch andere "tricks"?
1+e und 1-e kommt ja heraus--das ist dann limsup/liminf und gleichzeitig auch sup/inf in der aufgabe, oder?
aber wie stelle ich sonst fest, ob es nicht doch unterschiedlich werte sind, das muss ja nicht immer übereinstimmen, oder?
gruß und dank
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Da ich diese Aufgabe unter anderem auch bearbeiten muss und ich hier durch erstmal auf die Idee gekommen bin, wie ich diese lösen kann, wollte ich mal fragen, ob denn die Ergebnisse, die ich jetzt errechnet habe, auch einigermaßen richtig sind:
sup: 1-e
inf: 1+e
lim: existiert nicht, da lim sup [mm] \not= [/mm] lim inf
lim sup: 1+e
lim inf: 1-e
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Da ich diese Aufgabe unter anderem auch bearbeiten muss und
> ich hier durch erstmal auf die Idee gekommen bin, wie ich
> diese lösen kann, wollte ich mal fragen, ob denn die
> Ergebnisse, die ich jetzt errechnet habe, auch einigermaßen
> richtig sind:
>
> sup: 1-e
> inf: 1+e
Richtig wäre:
sup: 1+e
inf: 1-e
> lim: existiert nicht, da lim sup [mm]\not=[/mm] lim inf
> lim sup: 1+e
> lim inf: 1-e
O.K.
FRED
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> ah, ok, also immer irgendwie umformen, um 2 TF zu erhalten,
> deren grenzwertverhalten ich kenne--ist das die/eine
> strategie?? gibt es noch andere "tricks"?
Hallo,
"immer" kann man das bestimmt nicht so machen. Es gibt ja so viele verschiedene Folgen. Aber es ist gut, das Instrument der zerlegung in zwei Teilfolgen im Werkzeugkoffer zu haben. Gebrauchen kann man es hin und wieder.
Auch die sonstigen "Tricks" werden sich nach der Folge richten müssen.
Der Haupttrick ist, vieles gerechnet zu haben, damit man vieles "erlebt" hat.
> 1+e und 1-e kommt ja heraus--das ist dann limsup/liminf und
> gleichzeitig auch sup/inf in der aufgabe, oder?
Ja.
> aber wie stelle ich sonst fest, ob es nicht doch
> unterschiedlich werte sind, das muss ja nicht immer
> übereinstimmen, oder?
Nein, das stimmt nicht immer überein. was man genau tut, um das festzustellen, wird sich nach der Folge richten müssen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 26.11.2008 | | Autor: | gigi |
als bsp. hätt ich noch [mm] \wurzel{n+1}+(-1)^n \wurzel{n}
[/mm]
hier würde ich sagen, die folge geht gegen unendlich, divergiert, es gibt also weder liminf, noch limsup, noch lim und auch kein sup, richtig?
allerdings ex. doch ein infinum, oder? denn [mm] a_n\ge [/mm] 0, oder?
wie begründe und rechne ich nun das mathematisch korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Nicht so voreilig. Sei [mm] a_n [/mm] = $ [mm] \wurzel{n+1}+(-1)^n \wurzel{n} [/mm] $
Schau Dir mal die Teilfolge [mm] (a_{2n+1}) [/mm] an. Die konvergiert gegen 0.
Was heißt das für inf und lim inf ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mi 26.11.2008 | | Autor: | gigi |
die teilfolge für ungerade n wäre ja [mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n}. [/mm] dabei kvg der erste ausdruck doch gegen unendlich und der 2.ebenso, oder? kann man dann einfach so die differenz bilden und sagen, die TF kvg gegen 0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein. kennst Du nicht den "Trick"
[mm] \wurzel{a}-\wurzel{b} [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel{a}-\wurzel{b})(\wurzel{a}+\wurzel{b})}{\wurzel{a}+\wurzel{b}} [/mm] = [mm] \bruch{a-b}{\wurzel{a}+\wurzel{b}}
[/mm]
?
Jetzt kennst Du ihn und vergesse ihn nie.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> die teilfolge für ungerade n wäre ja
> [mm]\wurzel{n+1}-\wurzel{n}.[/mm] dabei kvg der erste ausdruck doch
> gegen unendlich und der 2.ebenso, oder? kann man dann
> einfach so die differenz bilden und sagen, die TF kvg gegen
> 0?
Die Argumentation ist falsch und mache sowas bitte nie wieder. Warum ist sie falsch?
Ich könnte sie übertragen:
[mm] $\frac{1}{2}n=n-\frac{1}{2}n$
[/mm]
Auf der rechten Seite strebt sowohl [mm] $\,n\,$ [/mm] als auch [mm] $\frac{1}{2}n$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen [mm] $\infty$, [/mm] nach Deiner Argumentation müßte also auch [mm] $\frac{1}{2}n \to [/mm] 0$ folgen. Das widerspricht sich schon selbst.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ah, ok, also immer irgendwie umformen, um 2 TF zu erhalten,
> deren grenzwertverhalten ich kenne--ist das die/eine
> strategie?? gibt es noch andere "tricks"?
die Strategie lautet nicht, 2 TF zu erhalten, sondern genügend viele TF zu erhalten. Das können durchaus auch abzählbar unendlich viele TF sein.
Bei Übungsaufgaben werdet ihr aber (dem Aufgabensteller sei Dank) wohl stets mit höchstens endlich vielen Häufungspunkten konfrontiert werden, denn alleine das ist bei den meisten Aufgaben schon Rechenaufwand genug.
Allgemeiner habe ich hier etwas zu einer "allgemeinen Strategie" geschrieben. Es ist aber sicher für Anfangssemester bestimmt nicht leicht, sich da durchzukämpfen und es zu verstehen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:33 Mi 26.11.2008 | | Autor: | gigi |
für ungerade n ist lim inf also =0 (und damit ist dann auch liminf von [mm] a_n=0?). [/mm] und das infinum von [mm] a_n [/mm] ist doch auch 0, oder? denn beide TF sind mit den wurzelausdrücken ja immer positiv, oder benötigt man da eine andere begründung?
nochmal zu dem trick: bei der ungeraden TF darf ich dann aus [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] folgern, dass es gegen 0 kvg, ja?
und für die gerade erhalte ich ja [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}. [/mm] wie lautet hier die richtige überlegung+ begründung für die kvg. gegen unendlich?
und hat jemand noch eine aufgabe, an welcher ich erkenne, wie man erkennt/vorgeht, wenn häufungspunkte und schranken nicht übereinstimmen? oder ist es i.a. so, dass es mehrere HP geben kann, aber davon sind dann jeweils nur die kleinste/größte das infinum/supremum?
und dann hätte ich als weiteres bsp noch diese folge:
[mm] |1-2^\bruch{1}{n}* i^n|
[/mm]
ich betrachte zunächst nur [mm] i^n, [/mm] da gibt es ja 4 fälle: 1,i,-1,-i. und der grenzwert für [mm] 2^\bruch{1}{n} [/mm] lautet 1. aber diese werte darf ich ja nun auch nicht einfach "zusammenrechnen" und so zb für den 1.fall |1-1*1|als grenzwert schreiben---aber wie gehts dann??
besten dank schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gigi,
> für ungerade n ist lim inf also =0 (und damit ist dann auch
> liminf von [mm]a_n=0?).[/mm] und das infinum von [mm]a_n[/mm] ist doch auch
> 0, oder? denn beide TF sind mit den wurzelausdrücken ja
> immer positiv, oder benötigt man da eine andere
> begründung?
es wäre hilfreich gewesen, nochmal die Aufgabe dazuzuschreiben (ich bin sie jetzt suchen gegangen). Dann hätten andere auch schon etwas dazu sagen können 
Du hattest $ [mm] \wurzel{n+1}+(-1)^n \wurzel{n} [/mm] $ betrachtet. Hier gilt:
$$ [mm] \wurzel{n+1}+(-1)^n \wurzel{n} [/mm] = [mm] \begin{cases} \sqrt{n+1}+\sqrt{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$$
[/mm]
> nochmal zu dem trick: bei der ungeraden TF darf ich dann
> aus [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}[/mm] folgern, dass es
> gegen 0 kvg, ja?
Ja. Ich schreibe es mal ganz sauber auf:
Sei [mm] $(a_n)_{n \in \IN} \equiv \left(\sqrt{n+1}+(-1)^n{\sqrt{n}}\right)_{n \in \IN}\,.$ [/mm] Wir betrachten nun die Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $n_k=2k-1$, [/mm] also [mm] $(a_{2k-1})_{k \in \IN}$.
[/mm]
Dann gilt für jedes $k [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $$a_{2k-1}=\sqrt{2k-1+1}+(-1)^{2k-1}\sqrt{2k-1}=\sqrt{2k}-\sqrt{2k-1}=\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}} \to [/mm] 0 [mm] \text{ bei }k \to \infty\,,$$
[/mm]
denn es ist $0 [mm] \le \sqrt{2k} \le\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}$ [/mm] und es gilt [mm] $\sqrt{2k} \to \infty$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty\,.$ [/mm]
Und analog folgt für die Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] mit [mm] $n_k=2k$, [/mm] also [mm] $(a_{n_k})_k \equiv (a_{2k})_k$ [/mm] (beachte, dass ich dem [mm] $n_k$ [/mm] hier eine neue Bedeutung gebe; besser wäre es vielleicht, die Teilfolgen irgendwie zu indizieren, z.B. [mm] $(a_{n^{(1)}_k})_k \equiv (a_{2k-1})_k$ [/mm] und [mm] $(a_{n^{(2)}_k})_k \equiv (a_{2k})_k\,,$ [/mm] aber ich glaube, das würde Dich eher verwirren als helfen ^^):
[mm] $$\sqrt{2k+1}+(-1)^{2k}\sqrt{2k}=\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k} \ge \sqrt{2k} \to \infty \text{ bei } [/mm] k [mm] \to \infty\,.$$
[/mm]
Das wäre natürlich eine ganz ausführliche Notation. Besser (und vll. übersichtlicher):
Für gerade $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $$\sqrt{n+1}+(-1)^n\sqrt{n}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\;\;\;\;\; \overset{n \text{ gerade und }n \to \infty}{\longrightarrow}\;\; \infty\,,$$
[/mm]
also gilt [mm] $\sqrt{n+1}+(-1)^n\sqrt{n} \to \infty$ [/mm] bei [mm] $\text{n gerade und }n \to \infty\,.$
[/mm]
Für ungerade $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $$\sqrt{n+1}+(-1)^n\sqrt{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \;\;\;\;\; \overset{n \text{ ungerade und }n \to \infty}{\longrightarrow}\;\; 0\,,$$
[/mm]
also gilt [mm] $\sqrt{n+1}+(-1)^n\sqrt{n} \to \infty$ [/mm] bei [mm] $\text{n ungerade und }n \to \infty\,.$
[/mm]
> und für die gerade erhalte ich ja
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}.[/mm] wie lautet hier die
> richtige überlegung+ begründung für die kvg. gegen
> unendlich?
Naja; also hier drehst Du Dich ein wenig im Kreise. Bei [mm] $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ [/mm] hast Du doch eben mit [mm] $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ [/mm] erweitert, weil Du gesehen hast, dass dann [mm] $\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt und somit [mm] $\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \to [/mm] 0$ erkannt hast.
Jetzt kannst Du natürlich sagen:
Ich weiß jetzt also, dass $0 < [mm] \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \to 0\,.$ [/mm] Also folgt:
[mm] $$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} \to \infty\,.$$
[/mm]
Aber wozu diese Umstände? Es gilt offensichtlich:
[mm] $$\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \ge \sqrt{n} \to \infty \text{ bei }n \to \infty\,.$$
[/mm]
Den Rest beantworte ich vll. später oder ein anderes Mal bzw. es kann/darf sich auch gerne jemand anderes mit den restlichen Fragen beschäftigen
P.S.:
Wer will, kann auch mal versuchen, die Rechnung mithilfe von Graphen zu kontrollieren. Dazu die folgenden drei Bilder (es geht sicher auch anders, aber so geht's jedenfalls )
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Aufgabe | | [mm] \wurzel{n+1} [/mm] + [mm] (-1)^n\wurzel{n} [/mm] |
Hallo... ;)
also kann ich jetzt davon ausgehen, dass die Grenzwerte der beiden Teilfolgen sind:
Für n [mm] \in \IN [/mm] gerade: [mm] \infty \hat= [/mm] lim sup = sup
Für n [mm] \in \IN [/mm] ungerade: 0 [mm] \hat= [/mm] lim inf = inf
Daraus kann ich doch ableiten, dass es für diese Folge keine Limes gibt, weil lim sup [mm] \not= [/mm] lim inf. Sind meine Überlegungen dazu richtig, oder hab ich an irgendeiner Stelle einen Denkfehler gemacht?
Viele liebe Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Alles O.K.
FRED
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Ich danke dir!
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| Aufgabe | | [mm] (-1)^n(1-\bruch{1}{n}) [/mm] |
Dies ist eine weitere Aufgabe...
naja, auch dazu habe ich mir einige Gedanken gemacht. Würde nur gerne wissen, ob das so richtig ist, oder eher nicht...
[mm] (-1)^n(1-\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] -(1-\bruch{1}{n})^n
[/mm]
Für n [mm] \in\IN [/mm] gerade: [mm] -(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
Für n [mm] \in\IN [/mm] ungerade: [mm] (1-\bruch{1}{n})^n
[/mm]
Dafür sind also: lim sup = lim inf --> e
Daher weiß ich, dass diese Folge auch einen Grenzwert hat, dieser müsste nach meiner Rechnung -e sein.
Also sprich hätte ich als Lösung:
lim = -e
lim sup= e
lim inf= e
sup= e
inf= e
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm](-1)^n(1-\bruch{1}{n})[/mm]
> Dies ist eine weitere Aufgabe...
> naja, auch dazu habe ich mir einige Gedanken gemacht. Würde
> nur gerne wissen, ob das so richtig ist, oder eher
> nicht...
>
> [mm](-1)^n(1-\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]-(1-\bruch{1}{n})^n[/mm]
Das ist Unsinn !
Sei [mm] a_n [/mm] = $ [mm] (-1)^n(1-\bruch{1}{n}) [/mm] $
für gerades n ist [mm] a_n [/mm] = [mm] (1-\bruch{1}{n})
[/mm]
für ungerades n ist [mm] a_n [/mm] = [mm] -(1-\bruch{1}{n})
[/mm]
Siehst Du Deinen Fehler ?
FRED
>
> Für n [mm]\in\IN[/mm] gerade: [mm]-(1+\bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> Für n [mm]\in\IN[/mm] ungerade: [mm](1-\bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> Dafür sind also: lim sup = lim inf --> e
> Daher weiß ich, dass diese Folge auch einen Grenzwert hat,
> dieser müsste nach meiner Rechnung -e sein.
>
> Also sprich hätte ich als Lösung:
> lim = -e
> lim sup= e
> lim inf= e
> sup= e
> inf= e
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Gut, ich hab das ausmultipliziert... bei diesem Schritt war ich mir eben nicht sicher, ob man das so machen kann. aber jetzt bin ich ja klüger...
also sage ich:
für n [mm] \in\IN [/mm] gerade --> [mm] (1-\bruch{1}{n})
[/mm]
für n [mm] \in\IN [/mm] ungerade --> [mm] -(1-\bruch{1}{n})
[/mm]
Dann stimmt der Rest, den ich für lim sup, sup, lim inf, inf und lim berechnet habe auch nicht... Für n [mm] \in\IN [/mm] ergibt sich Null, also ist lim sup = 0 = sup... genau das gleiche erhalte ich auch, wenn ich es für n [mm] \in\IN [/mm] ausrechne. also ist lim inf = 0 = inf... da ich ja sehe, dass lim sup = lim inf ist, hat diese Folge auch einen Grenzwert.
Hab ich denn das richtig umgeformt?
[mm] (-1)^n(1-\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] -(1-\bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
Viele liebe Grüße...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Gut, ich hab das ausmultipliziert... bei diesem Schritt war
> ich mir eben nicht sicher, ob man das so machen kann. aber
> jetzt bin ich ja klüger...
>
> also sage ich:
> für n [mm]\in\IN[/mm] gerade --> [mm](1-\bruch{1}{n})[/mm]
Diese Folge konv. gegen 1 !!!
>
> für n [mm]\in\IN[/mm] ungerade --> [mm]-(1-\bruch{1}{n})[/mm]
Diese Folge konv. gegen -1 !!!
>
> Dann stimmt der Rest, den ich für lim sup, sup, lim inf,
> inf und lim berechnet habe auch nicht... Für n [mm]\in\IN[/mm]
> ergibt sich Null, also ist lim sup = 0 = sup... genau das
Quatsch. s.o.
> gleiche erhalte ich auch, wenn ich es für n [mm]\in\IN[/mm]
> ausrechne. also ist lim inf = 0 = inf... da ich ja sehe,
Quatsch. s.o.
> dass lim sup = lim inf ist, hat diese Folge auch einen
Nein
> Grenzwert.
>
> Hab ich denn das richtig umgeformt?
>
> [mm](-1)^n(1-\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]-(1-\bruch{1}{n})^n[/mm] =
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm]
Nein. Es gibt in diesem Fall nichts zum Umformen
FRED
>
> Viele liebe Grüße...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Do 27.11.2008 | | Autor: | gigi |
ok, ich schreib am besten einfach nochmal alles, was umbeantwortet geblieben ist:
und hat jemand noch eine aufgabe, an welcher ich erkenne, wie man erkennt/vorgeht, wenn häufungspunkte und schranken nicht übereinstimmen? oder ist es i.a. so, dass es mehrere HP geben kann, aber davon sind dann jeweils nur die kleinste/größte das infinum/supremum?
wie kann man sich zb. eine folge ausdenken, deren inf kleiner als der lim inf ist?
und dann hätte ich als weiteres bsp noch diese folge:
$ [mm] |1-2^\bruch{1}{n}\cdot{} i^n| [/mm] $
ich betrachte zunächst nur $ [mm] i^n, [/mm] $ da gibt es ja 4 fälle: 1,i,-1,-i. und der grenzwert für $ [mm] 2^\bruch{1}{n} [/mm] $ lautet 1. aber diese werte darf ich ja nun auch nicht einfach "zusammenrechnen" und so zb für den 1.fall |1-1*1|als grenzwert schreiben---aber wie gehts dann??
besten dank schonmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 30.11.2008 | | Autor: | maxi85 |
> und dann hätte ich als weiteres bsp noch diese folge:
>
> [mm]|1-2^\bruch{1}{n}\cdot{} i^n|[/mm]
>
> ich betrachte zunächst nur [mm]i^n,[/mm] da gibt es ja 4 fälle:
> 1,i,-1,-i. und der grenzwert für [mm]2^\bruch{1}{n}[/mm] lautet 1.
> aber diese werte darf ich ja nun auch nicht einfach
> "zusammenrechnen" und so zb für den 1.fall |1-1*1|als
> grenzwert schreiben---aber wie gehts dann??
Benutze doch erstmal die def. vom Betrag komplexer zahlen. damit ist
[mm] |1-2^\bruch{1}{n}\cdot{} i^n| [/mm] = [mm] \wurzel{1+(2^{\bruch{1}{n}}*i^{n})^2} [/mm] = [mm] \wurzel{1+\wurzel[n]{4}*i^{2n}}
[/mm]
wenn du dann wie oben schon oft beschrieben weiter machst müsstest du
für n gerade sup=lim sup = [mm] \wurzel{2} [/mm] und
für n ungerade inf=lim inf = 0 bekommen.
worrausgesetzt ich habe keinen fehler gemacht.
mfg maxi
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