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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - surjektiv stetige Abbildung
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surjektiv stetige Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 So 28.06.2009
Autor: MissPocahontas

Aufgabe
Es gibt keine surjektive stetige Abbildung

g: [0,1] --> R.

Hallo,

ich bin bei meiner Klausurvorbereitung auf die obige Aufgabe gestoßen. Ich habe mir überlegt, dass man das damit begründen könnte, dass stetige Funktionen auf kompakten Intervallen (und das ist [0,1] ja zweifelsohne) ihr Minimum und Maximum annehmen. Dass f also beschränkt bleibt. Ich weiß nur nicht genau, wie ich das jetzt formell mit der surjektivität hinschreibe. Mein Problem ist, dass ich keine Lineare algebra hatte und mir daher ein paar Grundlagen fehlen. Würde mich über ein wenig hilfe freuen. danke

        
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surjektiv stetige Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 So 28.06.2009
Autor: XPatrickX

Hallo,

ja das ist genau der richtige Gedanke. Die Funktion hat also ihr Maximum im Punkt [mm] x_0 [/mm] mit Funktionswert [mm] f(x_0):=M. [/mm] Dann wird offensichtlich M+1 nicht angenommen. Aber mit M ist auch M+1 [mm] \in\IR. [/mm] Also kann f nicht surjektiv sein.

Gruß Patrick

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surjektiv stetige Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 So 28.06.2009
Autor: MissPocahontas

Super ;). Ich hätte aber noch eine Frage. Wenn die Aufgabe genauso lauten würden, aber es um eine Abbildung g ginge, die so aussieht:

g: [0,1] --) [mm] [0,1]\cup[2,3] [/mm] . Müsste ich dann etwas an meiner Argumentation ändern bzw. wie würde ich das dann aufschreiben? Danke dir.

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surjektiv stetige Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 So 28.06.2009
Autor: pelzig


> g: [0,1] --) [mm][0,1]\cup[2,3][/mm] . Müsste ich dann etwas an
> meiner Argumentation ändern bzw. wie würde ich das dann
> aufschreiben?

Das topologische Argument ist natürlich: Das Bild zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen ist zusammenhängend. Elementarer ist der Zwischenwertsatz: Da f surjektiv ist, gibt es [mm] $x,y\in[0,1]$ [/mm] mit $f(x)=1$ und $f(y)=2$, also müsste es [mm] $z\in[0,1]$ [/mm] geben mit $f(z)=1.5$, was ja nicht sein kann.

Gruß, Robert

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surjektiv stetige Abbildung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:49 So 28.06.2009
Autor: MissPocahontas

Zusammenhängend haben wir komplett nicht behandelt.

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surjektiv stetige Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 So 28.06.2009
Autor: pelzig

Alternativ: Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung ist kompakt, wenn es also so eine Abbildung gäbe, wäre [mm] $\IR$ [/mm] kompakt - Widerspruch.

Gruß, Robert

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