symmetrische Mengendifferenz < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Fr 08.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Es seien A und B Mengen. Die Menge
A [mm] \Delta [/mm] B := (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A )
heißt die symmetrische Mengendifferenz von A und B. Beweisen Sie:
A [mm] \Delta [/mm] B = (A [mm] \cup [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] B) |
Muss ich jetzt einfach nur gucken, ob gilt:
(A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A ) = (A [mm] \cup [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] B).
Also wenn x [mm] \in [/mm] (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A ), ist auch x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] B)?
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Hallo,
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> A [mm]\Delta[/mm] B := (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A )
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> heißt die symmetrische Mengendifferenz von A und B.
> Beweisen Sie:
>
> A [mm]\Delta[/mm] B = (A [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B)
> Muss ich jetzt einfach nur gucken, ob gilt:
>
> (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A ) = (A [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B).
>
> Also wenn x [mm]\in[/mm] (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A ), ist auch x [mm]\in[/mm] (A
> [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B)?
so ist es. Allerdings musst du auch noch die Richtung
$x [mm] \in \left(A \cup B\right) \setminus \left(A \cap B \right) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \left(A\setminus B\right)\cup \left(B \setminus A\right)$
[/mm]
bewiesen werden.
Viele Grüße
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Fr 08.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Vielen Dank. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien A und B Mengen. Die Menge
>
> A [mm]\Delta[/mm] B := (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A )
>
> heißt die symmetrische Mengendifferenz von A und B.
> Beweisen Sie:
>
> A [mm]\Delta[/mm] B = (A [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B)
> Muss ich jetzt einfach nur gucken, ob gilt:
>
> (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A ) = (A [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B).
>
> Also wenn x [mm]\in[/mm] (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A ), ist auch x [mm]\in[/mm] (A
> [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B)?
neben dem bereits Gesagten:
Zeichne Dir auch mal ein ![[]](/images/popup.gif) Venn-Diagramm!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Fr 08.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Ich hab mal eine Richtung gemacht:
x [mm] \in (A\b) \cup (B\A) \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A)
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] B)
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] B)
Ist das richtig?
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Hallo,
> Ich hab mal eine Richtung gemacht:
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> x [mm]\in (A\setminus B) \cup (B\setminus A) \gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] B)[mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A)
Da fehlen Klammern!
Genauer ist das [mm](x\in A \ \wedge \ x\notin B) \ \vee \ (x\in B \ \wedge \ x\notin A)[/mm]
Das müsstest du distributiv weiter verarzten ...
>
> [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] B)
Abgesehen davon, dass du wieder besser klammern solltest, solltest du einen oder zwei Zwischenschritte machen, denn das ist nicht alles, wenn du oben distributiv auflöst, es fehlen die "Terme" [mm] $(x\in [/mm] A \ [mm] \vee [/mm] \ [mm] x\notin [/mm] A) \ [mm] \wedge [/mm] \ [mm] (x\in [/mm] B \ [mm] \vee x\notin [/mm] B)$, die zwar beide immer wahr sind, du sie also nachher weglassen kannst, aber gerade wenn man mit solchen Aufgaben anfängt, sollte man genau arbeiten!
> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\notin[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)
Begründung für letzteres?
> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B)
>
> Ist das richtig?
Ja und nein 
Du würdest wahrscheinlich einiges an Punktabzug bekommen ...
Genauer begründen und detaillierter aufschreiben ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Fr 08.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
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>
> > Ich hab mal eine Richtung gemacht:
> >
> > x [mm]\in (A\setminus B) \cup (B\setminus A) \gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A)
> [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] B)[mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A)
>
> Da fehlen Klammern!
>
> Genauer ist das [mm](x\in A \ \wedge \ x\notin B) \ \vee \ (x\in B \ \wedge \ x\notin A)[/mm]
>
> Das müsstest du distributiv weiter verarzten ...
>
> >
> > [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A) [mm]\wedge[/mm]
> (x [mm]\notin[/mm] B)
>
> Abgesehen davon, dass du wieder besser klammern solltest,
> solltest du einen oder zwei Zwischenschritte machen, denn
> das ist nicht alles, wenn du oben distributiv auflöst, es
> fehlen die "Terme" [mm](x\in A \ \vee \ x\notin A) \ \wedge \ (x\in B \ \vee x\notin B)[/mm],
> die zwar beide immer wahr sind, du sie also nachher
> weglassen kannst, aber gerade wenn man mit solchen Aufgaben
> anfängt, sollte man genau arbeiten!
Also [mm] x\in [/mm] ( A \ B) [mm] \cup [/mm] ( B \ A)
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] A)
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \notin [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \notin [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \notin [/mm] B)
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \notin [/mm] B)
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
>
>
> > [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\notin[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)
>
> Begründung für letzteres?
Durch das [mm] \notin [/mm] ist es ja eine Verneinung. Deswegen?
>
> > [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] B)
> >
> > Ist das richtig?
>
> Ja und nein
>
> Du würdest wahrscheinlich einiges an Punktabzug bekommen
> ...
>
> Genauer begründen und detaillierter aufschreiben ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Also [mm]x\in[/mm] ( A \ B) [mm]\cup[/mm] ( B \ A)
> [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\notin[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] x
> [mm]\notin[/mm] A)
> [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A [mm]\vee[/mm] x
> [mm]\notin[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\notin[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] B
> [mm]\vee[/mm] x [mm]\notin[/mm] B)
> [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A [mm]\vee[/mm] x
> [mm]\notin[/mm] B)
> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\notin[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)
>
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> >
> >
> > > [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\notin[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)
Viel besser!
> >
> > Begründung für letzteres?
>
> Durch das [mm]\notin[/mm] ist es ja eine Verneinung. Deswegen?
De Morgan'sche Regeln!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Sa 09.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Danke dir. :)
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