symmetrische Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Fr 10.09.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Eine Zufallsvariable X wird symmetrisch genannt, falls X und -X die gleiche Verteilung aufweisen. Sei X symmetrisch und absolut stetig.
a) Drücke die Symmetrieeigenschaft durch die Verteilungsfunktion und durch die Dichtefunktion aus.
b) Sei [mm] f_X(x)=\bruch{1}{\pi}\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] die Dichte von X. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X, [mm] F_X(x). [/mm] Ist X mit der Dichte [mm] f_X(x) [/mm] symmetrisch?
c) Ist X von b) integrierbar? Falls ja, berechnen Sie E(X). |
Hallo,
Ich hatte etwas Schwierigkeiten beim Lösen dieser Aufgabe.
a) Ich verstehe nicht genau, was hier verlangt ist. Also für die Verteilungsfunktion gilt ja mit der Symmetrie:
[mm] F_X(x)=P(X<=x)=F(-X)(x)=P(-X<=x) [/mm] , nur was bedeutet das?
Für die Dichte verstehe ich noch viel weniger, was zu tun ist...
b) Es handelt sich um die Cauchy-Verteilung und [mm] F_X(x)=1/\pi(arctanx [/mm] + [mm] \pi/2). [/mm]
Ob das symmetrisch ist, finde ich schwierig zu sagen...
c) E(X) ist für die Cauchy-Verteilung nicht definiert, da die entsprechenden Integrale nicht definiert sind.
Stimmt mein Ansatz soweit?
Vielen Dank!
Viele Grüsse,
Natascha
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> a) Ich verstehe nicht genau, was hier verlangt ist. Also
> für die Verteilungsfunktion gilt ja mit der Symmetrie:
> [mm]F_X(x)=P(X<=x)=F(-X)(x)=P(-X<=x)[/mm] , nur was bedeutet das?
Form mal weiter um um drück [mm] F_{-X} [/mm] durch [mm] F_X [/mm] aus.
Du wirst sehen, dass du [mm] F_{-X} [/mm] immer auch über [mm] F_X [/mm] ausrechnen kannst.
> Für die Dichte verstehe ich noch viel weniger, was zu tun
> ist...
Nunja, in welchem Zusammenhang steht denn die Dichte zur Verteilungsfunktion?
Dann berechne doch mal die Dichte von [mm] F_{-X} [/mm] indem du die Darstellung über [mm] F_X [/mm] benutzt.
> b) Es handelt sich um die Cauchy-Verteilung und
> [mm]F_X(x)=1/\pi(arctanx[/mm] + [mm]\pi/2).[/mm]
> Ob das symmetrisch ist, finde ich schwierig zu sagen...
Wenn du mit a) fertig bist, kannst du mal schauen, ob das für die Dichte zutrifft, denn da hast du ja keinen arctan drin.
> c) E(X) ist für die Cauchy-Verteilung nicht definiert, da
> die entsprechenden Integrale nicht definiert sind.
Korrekt.
> Stimmt mein Ansatz soweit?
Die Ansätze sind ok, du musst sie nur konsequent weiterführen!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Sa 11.09.2010 | | Autor: | natascha |
> > a) Ich verstehe nicht genau, was hier verlangt ist. Also
> > für die Verteilungsfunktion gilt ja mit der Symmetrie:
> > [mm]F_X(x)=P(X<=x)=F(-X)(x)=P(-X<=x)[/mm] , nur was bedeutet
> das?
>
> Form mal weiter um um drück [mm]F_{-X}[/mm] durch [mm]F_X[/mm] aus.
> Du wirst sehen, dass du [mm]F_{-X}[/mm] immer auch über [mm]F_X[/mm]
> ausrechnen kannst.
Also meinst du so?
[mm] F_{-X}(x) [/mm] = P( -X <= x) = P (X <= -x) = [mm] F_X(-x)
[/mm]
D.h. [mm] F_X [/mm] ist symmetrisch, also weist für [mm] F_X(x) [/mm] und [mm] F_X(-x) [/mm] jeweils die gleichen Werte auf...oder?
>
> Nunja, in welchem Zusammenhang steht denn die Dichte zur
> Verteilungsfunktion?
> Dann berechne doch mal die Dichte von [mm]F_{-X}[/mm] indem du die
> Darstellung über [mm]F_X[/mm] benutzt.
Das Integral der Dichte ist ja die Wahrscheinlichkeitsverteilung, also muss [mm] F_X(x) [/mm] abgeleitet werden, um die Dichte zu erhalten...
[mm] F_X(x)' [/mm] = [mm] F_X(-x)'
[/mm]
> > b) Es handelt sich um die Cauchy-Verteilung und
> > [mm]F_X(x)=1/\pi(arctanx[/mm] + [mm]\pi/2).[/mm]
> > Ob das symmetrisch ist, finde ich schwierig zu sagen...
>
> Wenn du mit a) fertig bist, kannst du mal schauen, ob das
> für die Dichte zutrifft, denn da hast du ja keinen arctan
> drin.
[mm] f_X(x) [/mm] müsste ja gleich sein mit [mm] f_X(-x), [/mm] falls sie symmetrisch wären. Das dürfte jedoch immer der Fall sein, da x nur als [mm] x^{2} [/mm] vorkommt in [mm] f_X [/mm] und somit spielt es keine Rolle, ob x oder -x. Richtig?
Danke und viele Grüsse,
Natascha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
ich hab gerade gemerkt, dass das was ich geschrieben hab, ein wenig schwachsinnig war.
Ich beantworte die Frage, wenn ich mir ein wenig klarer geworden bin, was ich eigentlich schreiben will 
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]F_{-X}(x)[/mm] = P( -X <= x) = P (X <= -x) = [mm]F_X(-x)[/mm]
Hallo liebe Kinder, willkommen in der 7. Klasse. Heute beschäftigen wir uns mit Ungleichungen. =)
[mm] $a\leq [/mm] b\ [mm] \Leftrightarrow\ [/mm] -a\ \ [mm] [\ldots]\, [/mm] - b$
> D.h. [mm]F_X[/mm] ist symmetrisch, also weist für [mm]F_X(x)[/mm] und
> [mm]F_X(-x)[/mm] jeweils die gleichen Werte auf...oder?
Wieso ist das völlig unmöglich?
Komplett getrennt von dem Thema, wenn Dir jemand sagt, daß X eine ZV ist, für die gilt $F(x)=F(-x)$ wieso weißt Du, daß das völlig unmöglich ist?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 12.09.2010 | | Autor: | natascha |
> Hi,
>
> > [mm]F_{-X}(x)[/mm] = P( -X <= x) = P (X <= -x) = [mm]F_X(-x)[/mm]
>
> Hallo liebe Kinder, willkommen in der 7. Klasse. Heute
> beschäftigen wir uns mit Ungleichungen. =)
Ich weiss, dass ich ein niedriges Matheniveau habe, ich habe es mir auch nicht ausgesucht, Mathe zu belegen...
Jedenfalls scheint es mir so besser:
[mm] F_{-X}(x) [/mm] = P( -X <= x) = P (X >= -x) = 1- P(X < -x) = 1 - P(X <= -x-1) = 1 - [mm] F_X(-x-1)
[/mm]
Geht das nun in die richtige Richtung?
>
> [mm]a\leq b\ \Leftrightarrow\ -a\ \ [\ldots]\, - b[/mm]
>
> > D.h. [mm]F_X[/mm] ist symmetrisch, also weist für [mm]F_X(x)[/mm] und
> > [mm]F_X(-x)[/mm] jeweils die gleichen Werte auf...oder?
>
> Wieso ist das völlig unmöglich?
>
> Komplett getrennt von dem Thema, wenn Dir jemand sagt, daß
> X eine ZV ist, für die gilt [mm]F(x)=F(-x)[/mm] wieso weißt Du,
> daß das völlig unmöglich ist?
Hmmm [mm] F_X(x) [/mm] ist ja das Integral von f(x) und somit müsste das Integral von f(x) = Integral von f(-x) sein...was aber nicht sein kann?
>
> ciao
> Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 So 12.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Hi,
> >
> > > [mm]F_{-X}(x)[/mm] = P( -X <= x) = P (X <= -x) = [mm]F_X(-x)[/mm]
> >
> > Hallo liebe Kinder, willkommen in der 7. Klasse. Heute
> > beschäftigen wir uns mit Ungleichungen. =)
> Ich weiss, dass ich ein niedriges Matheniveau habe, ich
> habe es mir auch nicht ausgesucht, Mathe zu belegen...
> Jedenfalls scheint es mir so besser:
> [mm]F_{-X}(x)[/mm] = P( -X <= x) = P (X >= -x) = 1- P(X < -x) = 1 -
> P(X <= -x-1) = 1 - [mm]F_X(-x-1)[/mm]
> Geht das nun in die richtige Richtung?
Nein. Wie kommst Du auf
1- P(X < -x) = 1 - P(X <= -x-1) ???
FRED
> >
> > [mm]a\leq b\ \Leftrightarrow\ -a\ \ [\ldots]\, - b[/mm]
> >
> > > D.h. [mm]F_X[/mm] ist symmetrisch, also weist für [mm]F_X(x)[/mm] und
> > > [mm]F_X(-x)[/mm] jeweils die gleichen Werte auf...oder?
> >
> > Wieso ist das völlig unmöglich?
> >
> > Komplett getrennt von dem Thema, wenn Dir jemand sagt, daß
> > X eine ZV ist, für die gilt [mm]F(x)=F(-x)[/mm] wieso weißt Du,
> > daß das völlig unmöglich ist?
> Hmmm [mm]F_X(x)[/mm] ist ja das Integral von f(x) und somit müsste
> das Integral von f(x) = Integral von f(-x) sein...was aber
> nicht sein kann?
> >
> > ciao
> > Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 So 12.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> > Hallo liebe Kinder, willkommen in der 7. Klasse. Heute
> > beschäftigen wir uns mit Ungleichungen. =)
> Ich weiss, dass ich ein niedriges Matheniveau habe, ich
> habe es mir auch nicht ausgesucht, Mathe zu belegen...
Das war eigentlich als Witz gedacht, weil Dein Problem mit der Aufgabe als solcher nichts zu tun hatte. =)
> Jedenfalls scheint es mir so besser:
> [mm]F_{-X}(x)[/mm] = P( -X <= x) = P (X >= -x) = 1- P(X < -x) = 1 -
Sagen wir X ist standardnormalverteilt und x=0, dann schreibst Du
[mm] $P(X<0)=1/2=P(X\leq [/mm] -1)$
Es gilt doch
[mm] $P(X\leq [/mm] -x) = P(X<-x) + P(X=-x)$
(wieso?)
Was wissen wir über $P(X=-x)$?
> P(X <= -x-1) = 1 - [mm]F_X(-x-1)[/mm]
> Geht das nun in die richtige Richtung?
Ja.
> Hmmm [mm]F_X(x)[/mm] ist ja das Integral von f(x) und somit müsste
> das Integral von f(x) = Integral von f(-x) sein...was aber
> nicht sein kann?
Das könnte man sauberer ausarbeiten, dann stimmt es. Du brauchst aber gar keine Dichte, was weißt Du über Verteilungsfunktionen? Oder warum ist
[mm] $P(X\leq x)=P(X\leq -x)\qquad \forall x\in\IR$
[/mm]
Quark?
ciao
Stefan
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