tanh / artanh < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Man beweise:
Dir Funktion tanh: [mm] \IR\rightarrow\IR [/mm] ist streng monoton wachsend und bildet [mm] \IR [/mm] bijektiv auf (-1,1) ab.
Die Umgekrfunktion Artanh: [mm] (-1,1)\rightarrow\IR [/mm] ist differenzierbar. Man berechne die Ableitung. |
Zuerst fange ich einmal mit der Monotonie an.
D.h. es muss gelten: f(a) < f(b) für a < also f(a)-f(b) > 0
[mm] tanh(x)=\bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{2}{e^{2x}+1}
[/mm]
Setze nun b = a+h für ein [mm] h\in\IR_+:
[/mm]
tanh(a)-tanh(a+h) = 1 - [mm] \bruch{2}{e^{2a}+1} [/mm] - (1 - [mm] \bruch{2}{e^{2(a+h)}+1}) [/mm] = [mm] \bruch{2}{e^{2(a+h)}+1} [/mm] - [mm] \bruch{2}{e^{2a}+1} [/mm] = ...
Könnte mir hier evtl. jmd auf die sprünge helfen wie weiter?
die Umkehrfunktion ableiten:
[mm] artanh'(x)=\bruch{1}{tanh'(artanh(x))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{cosh^2(artanh(x))}} [/mm] = [mm] cosh^2(artanh(x)) [/mm] = [mm] cosh^2(\bruch{arsinh(x)}{arcosh(x)}
[/mm]
und jetzt wie weiter? ich hätte ja jetzt cosh und arcosh die sich gegeneinandern aufheben aber wie bringe ich die beiden funktionen zueinander? letztlich will ich ja als ergebniss haben [mm] \bruch{1}{1-x^2}
[/mm]
Danke und Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Zerwas!
Bilde doch die Ableitung von [mm] $\tanh(x)$ [/mm] und zeige, dass diese im gegebenen Intervall $> \ 0$ ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
autsch okay stimmt :-[
dann habe ich [mm] artanh'(x)=\bruch{1}{cosh^2(x)} [/mm] = [mm] \bruch{4}{(e^x-e^{-x})^2}
[/mm]
und da ein quadrat einer reellen zahl immer >0 ist wäre ich hier fertig ... aber was mache ich im Punkt 0 hier ist die ableitung ja dann nicht definiert oder?
und wie mache ich das bit der bijektion?
eigentlich müsste ich doch zeigen, dass es keine gleichen Funktionswerte im Intervall (-1,1) gibt oder?
Und wie setze ich da an damit ich eine vernünftige Aussage treffen kann?
Danke und Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 23.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Man beweise:
> Dir Funktion tanh: [mm]\IR\rightarrow\IR[/mm] ist streng monoton
> wachsend und bildet [mm]\IR[/mm] bijektiv auf (-1,1) ab.
> Die Umgekrfunktion Artanh: [mm](-1,1)\rightarrow\IR[/mm] ist
> differenzierbar. Man berechne die Ableitung.
> Zuerst fange ich einmal mit der Monotonie an.
> D.h. es muss gelten: f(a) < f(b) für a < also f(a)-f(b) >
> 0
Genau falsch rum!
aus a<b soll folgen f(a) < f(b) also f(a) -f(b) <0!
aus [mm] e^{a+h}>e^a [/mm] folgt [mm] 1+e^{a+h}>1+e^a [/mm] daraus [mm] 1/(1+e^{a+h})<1/(1+e^a)
[/mm]
und [mm] -1/(1+e^{a+h})>-1/(1+e^a) [/mm] jetzt noch +1!
> [mm]tanh(x)=\bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{2}{e^{2x}+1}[/mm]
>
> Setze nun b = a+h für ein [mm]h\in\IR_+:[/mm]
> tanh(a)-tanh(a+h) = 1 - [mm]\bruch{2}{e^{2a}+1}[/mm] - (1 -
> [mm]\bruch{2}{e^{2(a+h)}+1})[/mm] = [mm]\bruch{2}{e^{2(a+h)}+1}[/mm] -
> [mm]\bruch{2}{e^{2a}+1}[/mm] = ...
>
> Könnte mir hier evtl. jmd auf die sprünge helfen wie
> weiter?
Siehe oben.
>
> die Umkehrfunktion ableiten:
>
> [mm]artanh'(x)=\bruch{1}{tanh'(artanh(x))}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{cosh^2(artanh(x))}}[/mm] = [mm]cosh^2(artanh(x))[/mm]
> = [mm]cosh^2(\bruch{arsinh(x)}{arcosh(x)}[/mm]
rechne nach oder wisse: [mm] cosh^2=\bruch{1}{1-tanh^2}
[/mm]
die Umrechnungsformeln für sin,cos,tan bzw. sinh, cosh tanh ineinander braucht man immer um die Ableitungen der Umkehrfkt auszurechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
okay gut ... danke :) ... an der tatsache, dass $ [mm] 1/(1+e^{a+h})<1/(1+e^a) [/mm] $ bin ich vorhin auch hängen geblieben ohn dass mir bewusst geworden ist, dass ich ja genau das zu zeigen habe. -.-
zur ableitung:
d.h ich habe dann :
[mm] cosh^2(artanh(x)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-tanh^2(artanh(x))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-tanh(artanh(x))*tanh(artanh(x))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x^2}
[/mm]
Passt das dann so?
Danke für die Erklärung
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mi 23.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles richtig.
Gruss leduart
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