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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Fr 07.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
ich habe ein problem bei folgender aufgabe:bestimmen sie eine möglichst große zahl [mm] \delta>0,so [/mm] dass für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] |x|<\delta [/mm] gilt [mm] |sin(x)-x|<\bruch{1}{6000}.das [/mm] muss man mit der taylorformel machen,nur fragt sich wie...ich habe keine idee.
gruß
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Hallo mini111,
> hallo,
> ich habe ein problem bei folgender aufgabe:bestimmen sie
> eine möglichst große zahl [mm]\delta>0,so[/mm] dass für alle [mm]x\in\IR[/mm]
> mit [mm]|x|<\delta[/mm] gilt [mm]|sin(x)-x|<\bruch{1}{6000}.das[/mm] muss man
> mit der taylorformel machen,nur fragt sich wie...ich habe
> keine idee.
Es ist [mm]\vmat{\sin\left(x\right)-x}=\vmat{\sin\left(x\right)-T_{1}\left(x\right)}=\vmat{f\left(x\right)-T_{1}\left(x\right)}[/mm]
Nach ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia gibt es dafür eine Formel:
[mm]f\left(x\right)=T_{1}\left(x\right) + R_{1}\left(x\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \vmat{f\left(x\right)-T_{1}\left(x\right)}=\vmat{R_{1}\left(x\right)}[/mm]
Für das Restglied [mm]R_{1}\left(x\right)[/mm] gilt:
[mm]R_{1}\left(x\right)=\bruch{f''\left(\nu\right)}{2!}*x^{2}[/mm],
wobei [mm]\nu[/mm] zwischen 0 und x.
Dieses Restglied gilt es nun abzuschätzen.
Aus der Abschätzung ergibt sich nun, für welche [mm]\vmat{x}<\delta[/mm]
die Gleichung [mm]\vmat{\sin\left(x\right)-x}<\bruch{1}{6000}[/mm] erfüllt ist.
> gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Fr 07.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für deine hilfe,du hast ja als entwicklungspunkt 0 gewählt,wonach wählst du das?hätte man nicht auch zb.3 nehmen können?
ich habe zunächst da [mm] stehen:sin(x)=\bruch{f(0)}{0!}*(x-0)^0+\bruch{f'(0)}{1!}*(x-0)^1+\bruch{f''(0)}{2!}*(x-0)^2+\bruch{f'''(0)}{3!}*(x-0)^3,dann [/mm] kommt da sowas raus wie [mm] 0+1*x-\bruch{1}{6}*x^3,wenn [/mm] ich mich soweit nicht verrechnet habe,jetzt kommt ja noch das restglied dazu,da hab ich dann sowas [mm] wie:\bruch{f''''(\nu)}{4!}*x^4 [/mm] heraus,du hast ja aber schon bei der 1.ableitung aufgehört,ist das egal?
gruß
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Hallo mini111,
> hallo,
>
> danke für deine hilfe,du hast ja als entwicklungspunkt 0
> gewählt,wonach wählst du das?hätte man nicht auch zb.3
> nehmen können?
Doch, sicher. Im Prinzip kann man da jeden beliebigen Entwicklungspunkt nehmen.
> ich habe zunächst da
> [mm]stehen:sin(x)=\bruch{f(0)}{0!}*(x-0)^0+\bruch{f'(0)}{1!}*(x-0)^1+\bruch{f''(0)}{2!}*(x-0)^2+\bruch{f'''(0)}{3!}*(x-0)^3,dann[/mm]
> kommt da sowas raus wie [mm]0+1*x-\bruch{1}{6}*x^3,wenn[/mm] ich
> mich soweit nicht verrechnet habe,jetzt kommt ja noch das
> restglied dazu,da hab ich dann sowas
> [mm]wie:\bruch{f''''(\nu)}{4!}*x^4[/mm] heraus,du hast ja aber schon
> bei der 1.ableitung aufgehört,ist das egal?
Hier in der Aufgabe ist das nicht egal.
Da hier nach [mm]\vmat{\sin\left(x\right)-x}[/mm] gefragt ist, ist [mm]T_{1}\left(x\right)=x[/mm], also das Taylor-Polynom 1. Grades.
> gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Sa 08.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo mathepower,
danke für deine antwort aber ehrlich gesagt versteh ich das nicht mit dem restglied und dass das 1.grades sein soll.ich weiß auch nicht wie ich weiter machen soll wenn ich das habe....:(
lieben gruß
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> hallo mathepower,
> danke für deine antwort aber ehrlich gesagt versteh ich
> das nicht mit dem restglied und dass das 1.grades sein
> soll.ich weiß auch nicht wie ich weiter machen soll wenn
> ich das habe....:(
> lieben gruß
Hallo,
zunächst einmal verweise auch ich auf den Artikel über die Taylorformel.
Hast Du denn jetzt schonmal [mm] T_1(x) [/mm] berechnet, also das erste Taylorpolynom von f(x)=sinx am Entwicklungspunkt 0?
Passend dazu brauchst Du dann das Restglied [mm] R_1(x), [/mm] welches Du ja genau nach Anleitung berechnen kannst.
Dann können wir weitersehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mo 10.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela,
danke für deine hilfe!ja also [mm] T_{1},ersten [/mm] grades habe ich [mm] berechnet,T_{1}=\bruch{sin(0)}{0!}*(x-0)^0+\bruch{cos(0)}{1!}*(x)=x [/mm] und das restglied [mm] lautet:R_{1}=\bruch{-sin(\nu)}{2!}*x^2 [/mm] aber dann muss man ja irgendwie abschätzen oder so aber das versteh ich nicht so ganz und dann soll man ja eine möglichst große zahl [mm] \delta>0 [/mm] bestimmen,so dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] |x|<\delta, |sin(x)-x|<\bruch{1}{6000} [/mm] gilt.was ist dieses delta genau?
grüße
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Hallo mini111,
> hallo angela,
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> danke für deine hilfe!ja also [mm]T_{1},ersten[/mm] grades habe ich
> [mm]berechnet,T_{1}=\bruch{sin(0)}{0!}*(x-0)^0+\bruch{cos(0)}{1!}*(x)=x[/mm]
> und das restglied [mm]lautet:R_{1}=\bruch{-sin(\nu)}{2!}*x^2[/mm]
> aber dann muss man ja irgendwie abschätzen oder so aber das
> versteh ich nicht so ganz und dann soll man ja eine
> möglichst große zahl [mm]\delta>0[/mm] bestimmen,so dass für alle x
> [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]|x|<\delta, |sin(x)-x|<\bruch{1}{6000}[/mm] gilt.was
> ist dieses delta genau?
Es ist der [mm]\sin\left(\nu\right)[/mm] in dem Restglied [mm]R_{1}\left(x\right)[/mm] abzuschätzen.
>
> grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Di 11.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für die antwort.aber wie schätze ich ab,gibt es da einen trick oder so.ich habe: [mm] |sin(x)-x|=1/2*(-sin(\nu))*x^2 [/mm] und ich soll [mm] \nu [/mm] so bestimmen dass die gleichung stimmt?
gruß
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> hallo,
> danke für die antwort.aber wie schätze ich ab,gibt es da
> einen trick oder so.ich habe:
> [mm]|sin(x)-x|=1/2*(-sin(\nu))*x^2[/mm] und ich soll [mm]\nu[/mm] so
> bestimmen dass die gleichung stimmt?
Hallo,
Du hast jetzt:
es ist [mm] |sin(x)-x|=|1/2*(-sin(\nu))*x^2|=|1/2*sin(\nu)*x^2| [/mm] für ein [mm] \nu [/mm] zwischen 0 und x.
[mm] \le 1/2*x^2 [/mm] ,
und nun mußt Du Dir überlegen, wie groß |x| höchstens sein darf, damit Du die Grenze von [mm] $<\bruch{1}{6000} [/mm] $ einhalten kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Di 11.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für deine hilfe.also ich habe jetzt mehr oder weniger durch ausprobieren mit dem taschenrechner heraus,dass [mm] |x|<\bruch{1}{10} [/mm] sein muss,ist das richtig?ich denke ich habe es jetzt verstanden;)
gruß
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> danke für deine hilfe.also ich habe jetzt mehr oder
> weniger durch ausprobieren mit dem taschenrechner
> heraus,dass [mm]|x|<\bruch{1}{10}[/mm] sein muss,ist das richtig?ich
> denke ich habe es jetzt verstanden;)
Hallo,
die Lösung durch Abschätzen des Langrange-Restgliedes, welche ich Dir nahelegen wollte, wäre eine andere gewesen, ich hätte nämlich
[mm] x^2/2<1/6000 [/mm] gelöst, dabei aber ein deutlich kleineres [mm] \vardelta [/mm] als Deines bekommen.
Dein [mm] \vardelta [/mm] ist aber tatsächlich das größtmögliche.
Hast Du das einfach probiert, oder hast Du gerechnet?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Di 11.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
eigentlich ist der taschenrechner darauf gekommen also durch probieren aber ich habe nochmal geschaut und wenn man das restglied 3. grades nimmt [mm] also,\bruch{-cos}{6!}*x^3<\bruch{1}{6000},dann [/mm] kommt ja auch 1/10 raus.geht doch auch oder?
gruß
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> hallo,
> eigentlich ist der taschenrechner darauf gekommen also
> durch probieren aber ich habe nochmal geschaut und wenn man
> das restglied 3. grades nimmt
> [mm]also,\bruch{-cos}{3!}*x^3<\bruch{1}{6000},dann[/mm] kommt ja
> auch 1/10 raus.geht doch auch oder?
Hallo,
achso!
Du hast also das zweite Taylorpolynom betrachtet, welches sich ja vom ersten nicht unterscheidet, und dann mit [mm] R_2 [/mm] gearbeitet.
> .geht doch auch oder?
Es ist viel besser!
Gruß v. Angela
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