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hallo erstmal, hab noch ein kleines problem mit der entwicklung von taylorreihen um einen bestimmten punkt
z.b. [mm] \bruch {1}{\wurzel[3]{4x}}
[/mm]
entwickeln sie folgende funktion um den punkt 2.
jetzt ist meine frage würde des stimmen
[mm] (8+4(x-2)^1/3
[/mm]
[mm] \vektor{1/3 \\ n} *4^n(x-2)^n
[/mm]
stimmt des jetzt oder nicht, was ist mit der 8 kann ich die weglassen,
da steh ich noch bisschen auf der leitung wäre dankbar wenn mir jemand aus der klemme helfen könnte.
vielnen dank im voraus
hab die frage in keinem anderen forum gestellt.
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> hallo erstmal, hab noch ein kleines problem mit der
> entwicklung von taylorreihen um einen bestimmten punkt
>
> z.b. [mm]\bruch {1}{\wurzel[3]{4x}}[/mm]
>
> entwickeln sie folgende funktion um den punkt 2.
Hallo,
weißt Du, was Du hierfür tun mußt?
Du kannst es ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
> jetzt ist meine frage würde des stimmen
>
> [mm](8+4(x-2)^{1/3}[/mm]
>
> [mm]\vektor{1/3 \\ n} *4^n(x-2)^n[/mm]
Ich weiß leider überhaupt nicht, was Du hiermit meinst.
Wie sind diese Terme verbunden, und was sollen sie darstellen? Wenn Du das nicht sagst, kann man nur schlecht entscheiden, ob sie stimmen.
Vielleicht kannst Du mal erklären, was Du vorhast und den Weg vorstellen, wie Du hierhin gekommen bist.
Gruß v. Angela
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die funktion
[mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{4x}}
[/mm]
kann ich ja umschreiben, nämlich in
[mm] 4x^{\bruch{-1}{3}}
[/mm]
und jetzt würd ich gern eine taylorreihe um den punkt 2 entwickeln
dann will ich doch erreichen dass da x-2 da steht oder?
(4(x-2))^-1/3, aber jetzt stimmt ja die gleichung noch nicht, weil wenn ich dass ausklammere dann sollte ich ja wieder auf die von oben kommen
also schreib ich (8+4(x-2))^-1/3
stimmt doch oder?
und dann würd ich so weitermachen
[mm] \vektor{\bruch{-1}{3} \\ n} [/mm] * [mm] 4^n* (x-2)^n
[/mm]
stimmt des jetzt so meine frage wäre da was passiert mit der 8 kann ich die da ignorieren oder hab ich nen fehler gemacht
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> die funktion
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> [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{4x}}[/mm]
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> kann ich ja umschreiben, nämlich in
>
> [mm]4x^{\bruch{-1}{3}}[/mm]
>
> und jetzt würd ich gern eine taylorreihe um den punkt 2
> entwickeln
>
> dann will ich doch erreichen dass da x-2 da steht oder?
Hallo,
hast Du Dir denn den Link zur Taylorreihe angeschaut? Irgendwie habe ich den Verdacht, daß Du gar nicht weißt, was das ist.
Also: lies Dir das durch.
Du brauchst dann doch erstmal die 1.,2.,3.,... n.-te Ableitung der Funktion.
Ziel ist eine Darstellung von [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{4x}} [/mm] als
[mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{4x}}=\summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-2)^n,
[/mm]
und um die Vorfaktoren zu bekommen, brauchst Du die Ableitungen, wie die Vorfaktoren dann genau aussehen, kannst Du auch im wikipedia-Artikel lesen.
Gruß v. Angela
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ja des ist mir schon klar das man die n´te ableitung finden muss und dann so darstellen, aber es funktioniert ja auch über die binominalkoeffizienten, weil es ist bisschen schwierig die n´te ableitung der obengenannten funktion zu finden
die möglichkeit die ich gemacht hab läuft über die binominalkoeffizienten, und wenn ich des dann auflöse dann hab ich mein an*(x-2), aber ich wollte wissen ob des stimmt was ich da gemacht hab
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> die möglichkeit die ich gemacht hab läuft über die
> binominalkoeffizienten, und wenn ich des dann auflöse dann
> hab ich mein an*(x-2), aber ich wollte wissen ob des stimmt
> was ich da gemacht hab
Meinst Du mit der binomischen Reihe?
Mit diesem hier: [mm] (1+x)^a=\summe_{i=0}^{\infty}\vektor{a \\ n}x^n [/mm] ?
Da weiß ich nicht, wie Du damit die Taylorentwicklung Deiner Funktion bekommen kannst.
Gruß v. Angela
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> ja des ist mir schon klar das man die n´te ableitung finden
> muss und dann so darstellen, aber es funktioniert ja auch
> über die binominalkoeffizienten, weil es ist bisschen
> schwierig die n´te ableitung der obengenannten funktion zu
> finden
> die möglichkeit die ich gemacht hab läuft über die
> binominalkoeffizienten, und wenn ich des dann auflöse dann
> hab ich mein an*(x-2), aber ich wollte wissen ob des stimmt
> was ich da gemacht hab
Wenn Du die Taylorentwicklung finden willst, indem Du die Reihe [mm] $(1+x)^{-\frac{1}{3}}=\sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac{1}{3}}{n}x^n$ [/mm] verwendest, dann musst Du den gegebenen Funktionsterm erst einmal auf diese Form [mm] $(1+x)^{-\frac{1}{3}}$ [/mm] transformieren. Etwa so:
[mm]\frac{1}{\sqrt[3]{4x}}=(8+4(x-2))^{-\frac{1}{3}}=8^{-\frac{1}{3}}\cdot\left(1+\frac{x-2}{2}\right)^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=0}^\infty\binom{-\frac{1}{3}}{n}\left(\frac{x-2}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\binom{-\frac{1}{3}}{n}\cdot 2^{-(n+1)}\cdot (x-2)^n[/mm]
Nachtrag (1. Revision): .. und dies ist natürlich die Taylorentwicklung von [mm] $\frac{1}{\sqrt[3]{4x}}$ [/mm] (auch wenn man sie, wie hier, nicht durch Bestimmen der $n$-ten Ableitungen dieser Funktion gefunden hat), denn die Entwicklung einer Funktion in eine (in einer Umgebung des Entwicklungspunktes konvergente) Potenzreihe der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-2)^n$ [/mm] ist eindeutig.
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erstmal vielen dank, des war genau meine frage wegen der 8
aber wie komm ich am schluss auf des
[mm] 2^{-(n+1)}* (x-2)^{n}
[/mm]
wie komm ich darauf, wäre nett wenn du mir das noch erklären könntest
dankeschön
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> erstmal vielen dank, des war genau meine frage wegen der 8
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> aber wie komm ich am schluss auf des
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> [mm]2^{-(n+1)}* (x-2)^{n}[/mm]
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> wie komm ich darauf, wäre nett wenn du mir das noch
> erklären könntest
>
> dankeschön
Hallo,
die binomische Reihe ist (*) $ [mm] (1+x)^a=\summe_{i=0}^{\infty}\vektor{a \\ n}x^n [/mm] $ .
Du hast jetzt [mm] \frac{1}{\sqrt[3]{4x}}=\bruch{1}{2}\cdot\left(1+\frac{x-2}{2}\right)^{-\frac{1}{3}}
[/mm]
Mit [mm] y:=\frac{x-2}{2} [/mm] steht da
... [mm] =\bruch{1}{2}\cdot\left(1+y\right)^{-\frac{1}{3}}
[/mm]
Nun wendest Du (*) an:
[mm] ...=\bruch{1}{2}\summe_{i=0}^{\infty}\vektor{-\frac{1}{3} \\ n}y^n [/mm]
Nun y einsetzen:
[mm] =\bruch{1}{2}\summe_{i=0}^{\infty}\vektor{-\frac{1}{3} \\ n}(\frac{x-2}{2})^n
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{\infty}\vektor{-\frac{1}{3} \\ n}\frac{(x-2)^n}{2^{n+1}}=\summe_{i=0}^{\infty}\vektor{-\frac{1}{3} \\ n}2^{-(n+1)}* (x-2)^{n}
[/mm]
Gruß v. Angela
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