teilerfremd --> kgV < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mo 05.12.2011 | | Autor: | HannSG |
| Aufgabe | | Sind [mm] a_{1},..., a_{n} \in \IZ\{0} [/mm] paarweise teilerfremd, so gilt [mm] kgV(a_{1},...,a_{n}) [/mm] = [mm] |a_{1} [/mm] * [mm] a_{2} [/mm] *...* [mm] a_{n}| [/mm] |
Mir leuchtet generell ein wieso das so funktioniert. Ich weiß nur leider nicht wie ich das formal richtig beweisen kann.
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Hallo HannSG,
beweis es für [mm] a_1,a_2. [/mm] Das ist einfach.
Danach überleg Dir, wie aus der Voraussetzung der paarweisen Teilerfremdheit die Behauptung auch für [mm] a_1*a_2,a_3 [/mm] folgt etc.
Ab hier ist es einfache Induktion, wenn auch endliche.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Mo 05.12.2011 | | Autor: | HannSG |
kgv(a,b) * ggT(a,b) = |a*b|
[mm] \Rightarrow [/mm] da ggT(a,b)=1 folgt kgV(a,b)= |a*b|
Wir haben aber auch extra aufgeschrieben, dass dies nur für zwei Zahlen gilt.
Wie kann ich jetzt von hier auf den Beweis für mehrere Zahlen kommen?
Danke schonmal
Liebe Grüße, Hanna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Di 06.12.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Was bedeutet paarweise teilerfremd?
Einerseits natürlich [mm] $ggT(a_i,a_j)=1$ [/mm] für [mm] $i\neq [/mm] j$, andererseits auch [mm] $ggT(a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_i,a_j)=1$ [/mm] für $j>i$.
Wenn also [mm] kgV(a_1,a_2)=a_1\cdot a_2 [/mm] gilt, dann gilt für [mm] kgV(a_1,a_2,a_3)=kgV(kgV(a_1,a_2),a_3)=kgV(a_1\cdot a_2,a_3)=a_1\cdot a_2 \cdot a_3\cdot \frac{1}{ggT}$, [/mm] wobei der ggT von grade 1 ist.
Grüße,
Harris
In der Vorlesung wurde es wahrscheinlich so notiert, dass es nicht gilt für:
$ggT(a,b,c)=1 [mm] \Rightarrow kgV(a,b,c)=a\cdot b\cdot [/mm] c$. Gegenbeispiel hierfür 4,6,9. Paarweise Teilerfremdheit ist für diese Formel unerlässlich!
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