total diffbar < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Ich habe da mal eine Frage:
Wie zeigt man, dass eine Abbildung z.B. eine Abbildung f: [mm] \IR^3 \to \IR^2,
[/mm]
f(x,y,z) = [mm] (yz,z²+x)^T [/mm] in [mm] (1,0,-1)^T [/mm] total diffbar ist mit dem totalen Differential [mm] D_{f}(1,0,-1) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 } [/mm] ist.
Dazu muss ich aber sagen, dass ich weiß, dass man totale Diffbarkeit zeigen kann, indem man guckt ob die partiellen Ableitungen alle stetig sind. Darum geht es ja auch nicht, ich meinte eher, wenn man es rein der Defintion macht, die da lautet:
Es sei S [mm] \subset \IR^n [/mm] offen mit [mm] x_{0} [/mm] aus S. f: S [mm] \to \IR^m [/mm] heißt total diffbar in [mm] x_{0} [/mm] genau dann, wenn es eine lineare Abbildung [mm] \lambda: \IR^n \to \IR^m [/mm] gibt, sodass in einer Umgebung von x gilt:
f(x+h)-f(x) = [mm] \lambda(h) [/mm] + r(h), wobei r eine in der Umgebung von 0 definierte [mm] \IR^m [/mm] Wertigkeit hat mit [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{r(h)}{\parallel h \parallel} [/mm] = 0
Hoffe da kann mir jemand erklären!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Engel
> Ich habe da mal eine Frage:
>
> Wie zeigt man, dass eine Abbildung z.B. eine Abbildung f:
> [mm]\IR^3 \to \IR^2,[/mm]
> f(x,y,z) = [mm](yz,z²+x)^T[/mm] in [mm](1,0,-1)^T[/mm]
> total diffbar ist mit dem totalen Differential
> [mm]D_{f}(1,0,-1)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 }[/mm] ist.
>
> Dazu muss ich aber sagen, dass ich weiß, dass man totale
> Diffbarkeit zeigen kann, indem man guckt ob die partiellen
> Ableitungen alle stetig sind. Darum geht es ja auch nicht,
> ich meinte eher, wenn man es rein der Defintion macht, die
> da lautet:
>
> Es sei S [mm]\subset \IR^n[/mm] offen mit [mm]x_{0}[/mm] aus S. f: S [mm]\to \IR^m[/mm]
> heißt total diffbar in [mm]x_{0}[/mm] genau dann, wenn es eine
> lineare Abbildung [mm]\lambda: \IR^n \to \IR^m[/mm] gibt, sodass in
> einer Umgebung von x gilt:
>
> f(x+h)-f(x) = [mm]\lambda(h)[/mm] + r(h), wobei r eine in der
> Umgebung von 0 definierte [mm]\IR^m[/mm] Wertigkeit hat mit
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{r(h)}{\parallel h \parallel}[/mm]
> = 0
zwei klein Fehler: es ist nich [mm] \lambda(h) [/mm] sondern [mm] \ambda* [/mm] h
wobei dann ja [mm] \lambda [/mm] ne Matrix=lin Abb. und h ein Vektor ist. ich schreib lieber [mm] L_x.
[/mm]
setze in die Gleichung nacheinader für h die Standardeinheitsbasisvektoren ein mal h skalar. dann bekommst du die Spalten der Matrix. genau die der part. Ableitungen. und die Bedingung für r(h) die mit ||r(h)|| geht ist nur richtig, wenn die part. Ableitungen stetig sind (also nicht nur existieren)
reicht dir das?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Hä wir haben aber echt [mm] \lambda(h) [/mm] aufgeschrieben und das nicht nur einmal. Kann ich das nicht einfach anhand dieser Def. zeigen ohne zu verwenden, dass die partiellen Ableitungen stetig sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hä wir haben aber echt [mm]\lambda(h)[/mm] aufgeschrieben und das
> nicht nur einmal.
Das ist schon verständlich: in diesem Falle verwendet man einfach die Schreibweise [mm]\lambda(h)[/mm] für die Anwendung einer (linearen) Funktion auf den Zuwachs [mm]h[/mm]. Falls man ohnehin alles in Koordinaten schreibt, kann diese Anwendung einer linearen Funktion auch als Matrixprodukt der Abbildungmatrix [mm]\lambda[/mm] mit dem Vektor (der Matrix) der Zuwächse [mm]h[/mm] aufgefasst (und geschrieben) werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zum ersten siehe die andere Antwort.
Wie du das verwenden willst ohne dass die part. Ableitungen stetig sind, versteh ich nicht! dann findet man eben kein r(h), das den Bedingungen entspricht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 24.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Hä ich verstehe jetzt immer noch nicht wie das gehen soll. Ich möchte das nur mit der angegebenen Defnition zeigen und nicht mit irgendeinem Satz, der bei uns zum Beispiel besagt, dass eine Abbildung total diffbar ist, wenn ihre partiellen Ableitungen stetig sind!!!!
Rein nach Definiton!!!!!
Nur da liegt das Problem, wie soll das gehen?
Kann mir keiner helfen? :-(
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> Hä ich verstehe jetzt immer noch nicht wie das gehen soll.
> Ich möchte das nur mit der angegebenen Defnition zeigen und
> nicht mit irgendeinem Satz, der bei uns zum Beispiel
> besagt, dass eine Abbildung total diffbar ist, wenn ihre
> partiellen Ableitungen stetig sind!!!!
>
> Rein nach Definiton!!!!!
>
> Nur da liegt das Problem, wie soll das gehen?
Zugegeben: die Definition ist keine Maschine, die Dir direkt erklärt, wie Du eine lineare Abbildung findest, die die gewünschte Approximationseigenschaft hat.
> Kann mir keiner helfen? :-(
Wenn Du das Problem im luftleeren Raum stellst, dann ist es genausowenig lösbar, wie etwa das dringende Verlangen nach einem Algorithmus, der einem den Grenzwert für eine beliebige konkret vorgelegte Zahlenfolge (sofern er denn existieren sollte) liefert. Auch für dieses Problem gibt es keinen Algorithmus.
Der Weg über die stetigen partiellen Ableitungen ist etwa so algorithmisch, wie es geht. Aber weil man den Ableitungsbegriff auch ganz abstrakt für beliebige Banachräume definieren kann, ist dieser Weg wohl nicht immer gehbar.
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