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| Aufgabe | Beweisen Sie oder widerlegen Sie die Aussage: Die Funktion
f : [mm] \IR^3 \to IR^2 [/mm] f(x,y,z) [mm] :=\vektor{z*exp(|x-1|y) \\ z*exp*(x|y-1|)}
[/mm]
ist an jeder Stelle (x,y,z) [mm] \in IR^3 [/mm] total differenzierbar. |
Könnt ihr mir auch hier nochmal erklären wie man auf totale Differenzierbarkeit prüft? Leider ist mir das noch nicht so ganz klar...
MfG
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Fr 04.05.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Könnt ihr mir auch hier nochmal erklären wie man auf
> totale Differenzierbarkeit prüft? Leider ist mir das noch
> nicht so ganz klar...
genauso wie hier: https://vorhilfe.de/read?t=885874
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruß,
notinX
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Sind die partiellen Ableitungen von f stetig, dann ist f diffbar.
Sollte helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Sa 05.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie oder widerlegen Sie die Aussage: Die Funktion
> f : [mm]\IR^3 \to IR^2[/mm] f(x,y,z) [mm]:=\vektor{z*exp(|x-1|y) \\ z*exp*(x|y-1|)}[/mm]
>
>
> ist an jeder Stelle (x,y,z) [mm]\in IR^3[/mm] total
> differenzierbar.
> Könnt ihr mir auch hier nochmal erklären wie man auf
> totale Differenzierbarkeit prüft? Leider ist mir das noch
> nicht so ganz klar...
>
Z.B. ist die erste Komponentenfunktion in (1,1,1) nicht partiell differenzierbar nach x.
Damit ist f auch nicht total differenzierbar in (1,1,1)
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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Ja, aber wenn ich das für (1,1,1) zeige reicht das so sicher nicht oder?
Kann ich das nicht irgendwie allgemein zeigen?
Totale Differenzierbarkeit hab ich wohl noch nicht so ganz verstanden, also wie man das allegemein in so einem Fall nachprüft!
MfG
Mathegirl
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> Ja, aber wenn ich das für (1,1,1) zeige reicht das so
> sicher nicht oder?
Hallo,
kommt darauf an, was Du planst...
Für die Beantwortung der Frage, ob die Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich diffbar ist, reicht es, wenn man zeigt, daß sie an der Stelle (1,1,1) nicht diffbar ist.
> Kann ich das
Was?
> nicht irgendwie allgemein zeigen?
Was genau willst Du "allgemein" zeigen?
LG Angela
> Totale Differenzierbarkeit hab ich wohl noch nicht so ganz
> verstanden, also wie man das allegemein in so einem Fall
> nachprüft!
>
> MfG
> Mathegirl
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Die Aufgabe lautet ja: Beweise doer widerlege, dass die Funktion an jeder Stelle [mm] (x,y,z)\in \IR^3 [/mm] total differenzierbar ist. Auf die Aufgabe gibt es viele Punkte.
Gibt es noch eine andere möglichkeit wie man an die Aufgabe heran gehen kann?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Aufgabe lautet ja: Beweise doer widerlege, dass die
> Funktion an jeder Stelle [mm](x,y,z)\in \IR^3[/mm] total
> differenzierbar ist. Auf die Aufgabe gibt es viele Punkte.
>
> Gibt es noch eine andere möglichkeit wie man an die
> Aufgabe heran gehen kann?
Sag mal, was soll das ?
Ich habe Dir gesagt, dass f in (1,1,1) nicht partiell differenzierbar ist, also ist f in (1,1,1) auch nicht total differenzierbar. Damit ist f nicht in jedem [mm](x,y,z)\in \IR^3[/mm] total differenzierbar.
Fertig ! Was willst Dunoch ?
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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Mich wundern die vielen Punkte! Die gibt es eigentlich nur wenn die Aufgabe eine ausführliche Bearbeitung verlangt! daher meine Frage!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mich wundern die vielen Punkte! Die gibt es eigentlich nur
> wenn die Aufgabe eine ausführliche Bearbeitung verlangt!
> daher meine Frage!
>
>
> MfG
> Mathegirl
Dann begründe doch erstmal, dass f in (1,1,1) nicht partiell differenzierbar ist
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Di 08.05.2012 | | Autor: | heinze |
Gut, das ist offensichtlich, wenn ich (1,1,1) habe, das sieht man schon, da exp0 wäre.
Kannst du nochmal erklären Fred, wie ich das zeige in (1,1,1). Mich irritiert ebenfalls die hohe Punktzahl, da bei sowas etwas "ausführliches" kommen muss.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Di 08.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] f_1 [/mm] die erste Komponente von f, also [mm] f_1(x,y,z)=ze^{|x-1|y}
[/mm]
Dann hat [mm] \bruch{f_1(1+t,1,1)-f(0,0,0)}{t}= \bruch{e^{|t|}}{t} [/mm] keinen Grenzwert für t [mm] \to [/mm] 0.
Edit: es ist natürlich [mm] \bruch{f_1(1+t,1,1)-f_1(0,0,0)}{t}= \bruch{e^{|t|}-1}{t}
[/mm]
Dennoch : der GW ex. nicht.
Damit ist [mm] f_1 [/mm] in (1,1,1) nicht partiell differenzierbar nach x. Also ist [mm] f_1 [/mm] auch nicht differenzierbar in (1,1,1).
Fazit: f ist in (1,1,1) nicht differenzierbar.
Ähnliches gilt für Punkte der Form [mm] (1,y_0,z_0) [/mm] mit [mm] y_0 \ne [/mm] 0 [mm] \ne z_0.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 08.05.2012 | | Autor: | heinze |
Danke! Also kann ich das ebenfalls für y,z nachprüfen?
Reicht das aus wenn man sich [mm] f_1 [/mm] vornimmt und für x betrachtet? oder muss das für x,y,z und [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] gezeigt werden?
Eigentlich ist ja mit dem fall schon alles klar, so wie du es gezeigt hast.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Do 10.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Danke! Also kann ich das ebenfalls für y,z nachprüfen?
Kannst Du tun, ja.
>
> Reicht das aus wenn man sich [mm]f_1[/mm] vornimmt und für x
> betrachtet? oder muss das für x,y,z und [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm]
> gezeigt werden?
Wenn Du EINE Stelle findest, an der die Funktion nicht partiell diffbar ist, hast Du damit die totale Differenzierbarkeit widerlegt.
>
> Eigentlich ist ja mit dem fall schon alles klar, so wie du
> es gezeigt hast.
>
>
> LG
> heinze
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Sagen wirs noch deutlicher:
Wenn Du EINE Stelle findest, an der EINE der Komponentenfunktionen von f nicht partiell diffbar ist, hast Du damit die totale Differenzierbarkeit von f widerlegt.
FRED
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> Sei [mm]f_1[/mm] die erste Komponente von f, also
> [mm]f_1(x,y,z)=ze^{|x-1|y}[/mm]
>
>
> Dann hat [mm]\bruch{f_1(1+t,1,1)-f(0,0,0)}{t}= \bruch{e^{|t|}}{t}[/mm]
> keinen Grenzwert für t [mm]\to[/mm] 0.
>
> Damit ist [mm]f_1[/mm] in (1,1,1) nicht partiell differenzierbar
> nach x. Also ist [mm]f_1[/mm] auch nicht differenzierbar in
> (1,1,1).
>
> Fazit: f ist in (1,1,1) nicht differenzierbar.
>
Hallo alle zusammen!
Ich weiß, dass diese Frage vor einigen Tagen schon beantwortet wurde, aber ich bin mir nicht sicher, dass die Antwort, wirklich richtig ist.
Ich bin momentan an der selben Aufgabe und sehe nicht, wie fred97 auf den Differenzenquotient:
$ [mm] \bruch{f_1(1+t,1,1)-f(0,0,0)}{t}= \bruch{e^{|t|}}{t} [/mm] $ für die Ableitung bezüglich der 1-ten Komponente von [mm] f_1 [/mm] kommt.
Der richtige Quotient müsste doch
$ [mm] \bruch{f_1(1+t,1,1)-f_1(1,1,1)}{t}= \bruch{e^{|t|}-e^0}{t} [/mm] $
sein, da man ja gerade die Stelle (1,1,1) und nicht die Stelle (0,0,0) betrachtet. Dieser Grenzwert ist 1 und demnach wäre die totale Differenzierbarkeit der Funktion NICHT widerlegt.
Aber wie zeigt oder widerlegt man nun die totale Differenzierbarkeit in diesem Beispiel? Ich habe über dieser Aufgabe schon sehr lange gebrütet, bin aber noch zu keinem Ergebnis gekommen.
Ich bedanke mich für Antworten schon mal im Voraus.
Grüße, Endstulle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:37 Fr 11.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]f_1[/mm] die erste Komponente von f, also
> > [mm]f_1(x,y,z)=ze^{|x-1|y}[/mm]
> >
> >
> > Dann hat [mm]\bruch{f_1(1+t,1,1)-f(0,0,0)}{t}= \bruch{e^{|t|}}{t}[/mm]
> > keinen Grenzwert für t [mm]\to[/mm] 0.
> >
> > Damit ist [mm]f_1[/mm] in (1,1,1) nicht partiell differenzierbar
> > nach x. Also ist [mm]f_1[/mm] auch nicht differenzierbar in
> > (1,1,1).
> >
> > Fazit: f ist in (1,1,1) nicht differenzierbar.
> >
>
> Hallo alle zusammen!
>
> Ich weiß, dass diese Frage vor einigen Tagen schon
> beantwortet wurde, aber ich bin mir nicht sicher, dass die
> Antwort, wirklich richtig ist.
> Ich bin momentan an der selben Aufgabe und sehe nicht, wie
> fred97 auf den Differenzenquotient:
>
> [mm]\bruch{f_1(1+t,1,1)-f(0,0,0)}{t}= \bruch{e^{|t|}}{t}[/mm] für
> die Ableitung bezüglich der 1-ten Komponente von [mm]f_1[/mm]
> kommt.
>
> Der richtige Quotient müsste doch
>
> [mm]\bruch{f_1(1+t,1,1)-f_1(1,1,1)}{t}= \bruch{e^{|t|}-e^0}{t}[/mm]
Aua, Du hast recht !
>
> sein, da man ja gerade die Stelle (1,1,1) und nicht die
> Stelle (0,0,0) betrachtet. Dieser Grenzwert ist 1
Ist er nicht ! [mm] \bruch{e^{|t|}-e^0}{t} [/mm] hat keinen Grenzwert für t [mm] \to [/mm] 0.
Schau Dir mal rechtseitigen und linksseitigen GW an. Diese GWe existieren, sind aber verschieden.
> und
> demnach wäre die totale Differenzierbarkeit der Funktion
> NICHT widerlegt.
DOCH
FRED
>
> Grüße, Endstulle
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Fr 11.05.2012 | | Autor: | Endstulle |
Danke erstmal für deine schnelle Antwort Fred!
Ich verstehe, dass der Grenzwert nicht existieren kann, da rechts- und linksseitiger limes mit 1 bzw -1 verschieden sind, da war ich heute morgen wohl etwas voreilig. :)
Grüße, Stulle
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