trägheitsmoment < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Sa 31.01.2009 | | Autor: | mini111 |
| Aufgabe | Man soll das trägheitsmoment bzgl. der x-achse von folgenden körper berechnen:S:={(x,y,z) [mm] \in \IR^3:r^2 \le x^2+y^2+z^2 \le R^2 [/mm] }, (0<r<R)
[mm] T(S):=\integral_{E}(x^2+y^2) d\lambda^3(x,y,z) [/mm] |
Guten Abend,
Soweit ich mich nicht irre ist das ein Torus.ich weiß wohl,dass man das jetzt über kugelkoordinaten integrieren kann aber mir fällt es schwer,die grenzen des integrals fest zusetzen.kann mir da jemand weiter helfen?
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Sa 31.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man soll das trägheitsmoment bzgl. der x-achse von
> folgenden körper [mm] berechnen:$S:=\{(x,y,z) \in \IR^3:r^2 \le x^2+y^2+z^2 \le R^2\}$, [/mm] ($0<r<R$)
> [mm]T(S):=\integral_{E}(x^2+y^2) d\lambda^3(x,y,z)[/mm]
> Guten
> Abend,
>
> Soweit ich mich nicht irre ist das ein Torus.
Nein, das ist eine Hohlkugel (Innenradius r, Außenradius R).
Und das Trägheitsmoment bzgl. der x-Achse ist
[mm]T(S):=\integral_{E}(\red{y^2+z^2}) d\lambda^3(x,y,z)[/mm]
> ich weiß
> wohl,dass man das jetzt über kugelkoordinaten integrieren
> kann aber mir fällt es schwer,die grenzen des integrals
> fest zusetzen.kann mir da jemand weiter helfen?
Da der Körper kugelsymmetrisch ist, gehen die Winkel über den gesamten Bereich, als [mm] $0\dots2\pi$ [/mm] für den Azimutwinkel und [mm] $0\dots\pi$ [/mm] für den Polarwinkel. Die Grenzen für das Integral über den Radius sind offensichtlich, oder 
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 So 01.02.2009 | | Autor: | mini111 |
Hallo Rainer,
Danke für deine Antwort.ok,das mit der hohlen kugel sehe ich ein aber wie würde denn dann beispielsweise so eine menge von einem torus aussehen?
ich habe außerdem versucht das integral auszurechnen aber das ist ziemlich "verzwickt":
[mm] \integral_{r}^{R}\integral_{0}^{2*\pi} \integral_{0}^{\pi}{ ((r^2*(sin(\lambda))^2 *(sin(\mu))^2 +r^2*(cos(\mu))^2)*r^2*sin(\mu) d\mu d\lambda dr} [/mm] ich sehe keine möglichkeit die ganzen sinus und cosinus'se zusammen zu fassen.
lieben gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 So 01.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> Danke für deine Antwort.ok,das mit der hohlen kugel sehe
> ich ein aber wie würde denn dann beispielsweise so eine
> menge von einem torus aussehen?
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier:
[mm] \left(\wurzel{x^2+y^2} - R\right)^2 + z^2 \le r^2 [/mm]
> ich habe außerdem versucht das integral auszurechnen aber
> das ist ziemlich "verzwickt":
> [mm]\integral_{r}^{R}\integral_{0}^{2*\pi} \integral_{0}^{\pi}{ ((r^2*(sin(\lambda))^2 *(sin(\mu))^2 +r^2*(cos(\mu))^2)*r^2*sin(\mu) d\mu d\lambda dr}[/mm]
> ich sehe keine möglichkeit die ganzen sinus und cosinus'se
> zusammen zu fassen.
Das is trichtig, aber das Integral ist viel einfacher als du glaubst: es lässt sich in lauter einfache Integrale auseinanderziehen. Zunächst kann man das Integral über r herausziehen, weil überall der Faktor [mm] $r^4$ [/mm] drin steht:
[mm]\integral_{r}^{R}\integral_{0}^{2*\pi} \integral_{0}^{\pi}{ (r^2*\sin^{2}\lambda *\sin^{2}\mu +r^2*\cos^2\mu)*r^2*\sin\mu d\mu d\lambda dr}[/mm]
[mm] = \integral_{r}^{R} r^4 dr * \integral_{0}^{2*\pi} \integral_{0}^{\pi} (\sin^{2}\lambda *\sin^{2}\mu +\cos^2\mu)*\sin\mu\, d\mu d\lambda [/mm]
[mm] = \bruch{1}{5} (R^5-r^5) * \integral_{0}^{2*\pi} \integral_{0}^{\pi} (\sin^{2}\lambda *\sin^{2}\mu +\cos^2\mu)*\sin\mu\, d\mu d\lambda [/mm]
[mm] = \bruch{1}{5} (R^5-r^5) * \left(\integral_{0}^{2*\pi} \integral_{0}^{\pi} \sin^{2}\lambda *\sin^{2}\mu*\sin\mu \, d\mu d\lambda + \integral_{0}^{2*\pi} \integral_{0}^{\pi} \cos^2\mu*\sin\mu\, d\mu d\lambda \right) [/mm]
[mm] = \bruch{1}{5} (R^5-r^5) * \left(\integral_{0}^{2*\pi}\sin^{2}\lambda\,d\lambda*\integral_{0}^{\pi} \sin^3\mu\,d\mu + \integral_{0}^{2*\pi} d\lambda * \integral_{0}^{\pi} \cos^2\mu*\sin\mu\, d\mu \right) [/mm]
Den Rest der Rechnung überlasse ich dir.
Zwei Bemerkungen: erstens siehts du dass das Trägheitsmoment der Hohlkugel gerade die Differenz aus dem Trägheitsmoment der Vollkugel mit Radius R und der kleineren Kugel vom Radius r ist. Das gilt allgemein für Hohlkörper, da das Trägheitsmoment linear in der Massenverteilung ist.
Zweitens kann man sich die Arbeit vereinfachen, wenn man die Symmetrie des Körpers ausnutzt: bei einem kugelsymmetrischen Körper ist es für das Trägheitsmoment egal, um welche Achse er rotiert, solange sie nur durch den Mittelpunkt geht. Daher kannst du für die Berechnung diejenige Achse wählen, für die es besonders einfach ist; und das ist in Kugelkoordinaten die z-Achse. Das Integral ist dann
[mm] \integral_{r}^{R}\integral_{0}^{2*\pi} \integral_{0}^{\pi}{ (r^2*\sin^{2}\lambda *\sin^{2}\mu +r^2*\cos^2\lambda*\sin^2\mu)*r^2*\sin\mu d\mu d\lambda dr} = \integral_{r}^{R}\integral_{0}^{2*\pi} \integral_{0}^{\pi} r^4 \sin^3 \mu \, d\mu d\lambda dr [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 So 01.02.2009 | | Autor: | mini111 |
Hallo Rainer,
Super!Vielen Dank für deine Hilfe.Ich habe es jetzt verstanden und gelöst :)
Liebe Grüße
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