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| Aufgabe | Beantworten Sie die folgenden Fragen mit Ja oder Nein und begründen sie ihre Antwort.
a) Ein trigonometrisches Polynom ist ein (gewöhnliches) Polynom.
b) Ein trigonometrisches Polynom kann man auf ganz [mm] \IR [/mm] in eine Potenzreihe um 0 entwickeln. |
Hallo!
Also zunächst haben wir ein trigonometrisches Polynom als eine endliche Summe der folgenden Form definiert:
[mm] f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{N}(a_n [/mm] cos nx + [mm] b_n [/mm] sin nx)
wobei [mm] a_0,...,a_N [/mm] und [mm] b_1,...,b_N [/mm] komplexe Zahlen sind.
Es lässt sich außerdem folgendermaßen schreiben:
[mm] f(x)=\sum_{n=-N}^{N}c_ne^{inx}
[/mm]
a) Ich würde sagen es ist kein gewöhnliches Polynom, denn diese haben die Form [mm] \sum_{i=0}^{n}a_i x^i. [/mm] Und bei der obigen Schreibweise ist die Form ja [mm] e^x, [/mm] was sich nicht in ein Polynom umwandeln lässt.
Die Begründung ist leider noch recht schwammig..
b) Damit man eine Funktion in eine Potenzreihe um Null entwickeln kann, muss diese notwendigerweise beliebig oft differenzierbar sein. Das ist erfüllt. Aber die hinreichende Bedingung ist, dass die Reihe gegen die Funktion konvergieren muss. Aber ich weiß leider nicht, wie ich das nachprüfen kann.
Wäre dankbar für einen Hinweis oder Tipp!
Viele Grüße, Wiebke Marie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Do 03.06.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
deine Frage wurde hier schon behandelt.
LG
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