Überbestimmtes gleichungssys. < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Fr 23.04.2010 | | Autor: | slatif79 |
Hi, ich hab ein Problem ein überbestimmtest gleichungssystem zu lösen und hoffe jemand kann mir helfen.
Ich hab es mit der Methoder der kleinsten Quadrate versucht.
Dazu habe ich die Gleichung in eine Matixform gebracht und versucht, sie nach der Formel
A*X = B nach X aufzulösen.
X = inv(A'A) * A'B
Bei einer kleinen Beispielmatrix geht das auch und ich kriege die Werte aber wenn ich diese Formel bei meiner großen
29*24 Matrix benutzen will klappt die invertierung nicht.
Ich kriege zwar ein Ergebnis aber es ist nich richtig.
Ich gebe alle Schritte übrigens in Matlab ein.
Die Housholdertransformation hat auch nichts gebracht.
Das Problem liegt nicht an der Dimension der Matrix, da es mit einer geringeren Dimension auch nicht geht.
Gibt es ein alternatives Verfahren, so ein Geleichungssystem zu lösen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
für dein Ausgleichsproblem kann man zeigen, dass immer eine Lösung existiert, also die Menge [mm] $L=\big\{\vec{x}\colon A^T A\vec{x}=A^T \vec{b}\big\}$ [/mm] nicht leer ist.
Um die sogenannten Normalengleichungen zu lösen, ist das Invertieren aber vermutlich eine schlechte Idee. Ich empfehle stattdessen die Cholesky-Zerlegung. Also:
| 1: | L=chol(A'A);
| | 2: | y=L'\(A'b);
| | 3: | x=L\y |
Dabei ist [mm] $\var{L}$ [/mm] eine obere Dreiecksmatrix, so dass $L^TL=A^TA$ gilt und dann ist eben bloß noch [mm] $L^T\vec{y}=A^T\vec{b}$ [/mm] und anschließend [mm] $L\vec{x}=\vec{y}$ [/mm] zu lösen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Di 27.04.2010 | | Autor: | slatif79 |
Hi, danke für die Antwort aber gilt die Cholesky-Zerlegung nicht nur für eine quadratische matrix? In meinem Fall würde dieses Verfahren ja dann nicht anwendbar sein oder? Ich habe ja ein überbestimmtes gleichungssystem und somit mehr zeilen als spalten.
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Der Sinn der Methode der kleinsten Quadrate ist ja gerade, dass ein sogenanntes Ausgleichsproblem der Form [mm] \|A\vec{x}-\vec{b}\|_2\to\min [/mm] statt des ursprünglichem überbestimmten LGS [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] gelöst wird. Dieses Ausgleichsproblem wird dann eben immer durch die oben von mir erwähnten Normalengleichungen gelöst.
Das Einzige, was quadratisch sein muss, ist die Matrix $A^TA$, und das ist sie immer!
Probier die Cholesky-Zerlegung, bzw. die oben von mir geposteten Befehle einfach mal aus, es ist genau das, was du suchst. 
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Das stimmt nicht.
ich bitte Dich, in Zukunft die Forenregeln in vollem Umfange einzuhalten.
Gruß v. Angela
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