Übergangsmatrix < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Di 17.05.2011 | | Autor: | emy123 |
| Aufgabe | Die Gesellschaft eines bestimmten Landes wird in drei Schichten eingeteilt:
Oberschicht 10%,
Mittelschicht 70%,
Unterschicht 20% der Bevölkerung.
Wischen den Schichten finden Auf- und Abstiegsprozesse stattt, die jeweils für eine Zeitspanne von 10 Jahren durch die nebenstehende Abbildung beschrieben werden können.
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) Gib eine Übergangsmatrix an.
b) Wie groß sind die jeweiligen Schichtanteile nach 10 [20,30] Jahren?
c) Gib eine nÜbergangsmatrix für die Veränderung der Schichtung nach 20 Jahren an.
d) Bei welcher Anfangsverteilung der Schichten ergibt sich trotz der Auf- und Abstiegsprozesse keine gesamtgesellschaftliche Veränderung der Schichtung? |
Hi,
das einzige, was ich an dieser Aufgabe konnte, war leider nur die Teilaufgabe a).
O M U
O 87 10 3
M 10 78 12
U 1 15 84
Muss ich bei der b) , um die Schichtanteile nach 10 Jahren herauszufinden, einfach alle Anteile mit 2 multiplizieren, da die gegebenen Anteile jeweils für 10 Jahre gelten? Dann würde die Matrix wie folgt aussehen, obwohl das für mich irgendwie keinen Sinn macht:
O M U
O 74 20 6
M 20 56 24
U 2 30 68
Wie müsste ich denn jetzt weiterrechnen, um auf die Anteile nach 20 Jahren zu kommen? Noch mal mit 2 multiplizieren, geht doch dann nicht, oder?
Bei der c) müsste ich die Übergangsmatrix doch herstellen können, wenn ich die b) mit 20 Jahren hinbekommen habe, oder?
Und bei der d) habe ich überhaupt keine Idee.
Für Hilfen wäre ich dankbar.
Emy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Die Gesellschaft eines bestimmten Landes wird in drei
> Schichten eingeteilt:
> Oberschicht 10%,
> Mittelschicht 70%,
> Unterschicht 20% der Bevölkerung.
>
> Zwischen den Schichten finden Auf- und Abstiegsprozesse
> stattt, die jeweils für eine Zeitspanne von 10 Jahren
> durch die nebenstehende Abbildung beschrieben werden
> können.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> a) Gib eine Übergangsmatrix an.
> b) Wie groß sind die jeweiligen Schichtanteile nach 10
> [20,30] Jahren?
> c) Gib eine Übergangsmatrix für die Veränderung der
> Schichtung nach 20 Jahren an.
> d) Bei welcher Anfangsverteilung der Schichten ergibt sich
> trotz der Auf- und Abstiegsprozesse keine
> gesamtgesellschaftliche Veränderung der Schichtung?
> Hi,
> das einzige, was ich an dieser Aufgabe konnte, war leider
> nur die Teilaufgabe a).
>
> O M U
> O 87 10 3
> M 10 78 12
> U 1 15 84
In der Matrix sollten Übergangswahrscheinlichkeiten
stehen, keine Prozentwerte. Also alle Werte durch 100
teilen !
Da die Grafik (noch) nicht angezeigt wird: ist es richtig,
dass z.B. die Angabe 1 (eigentlich 1%=0.01) für die
Wahrscheinlichkeit steht, dass ein Angehöriger der Unter-
schicht nach 10 Jahren zur Oberschicht gehört ? - oder
ist es gerade umgekehrt ?
> Muss ich bei der b) , um die Schichtanteile nach 10 Jahren
> herauszufinden, einfach alle Anteile mit 2 multiplizieren,
> da die gegebenen Anteile jeweils für 10 Jahre gelten? Dann
> würde die Matrix wie folgt aussehen, obwohl das für mich
> irgendwie keinen Sinn macht:
>
> O M U
> O 74 20 6
> M 20 56 24
> U 2 30 68
Das macht wirklich absolut keinen Sinn !
> Wie müsste ich denn jetzt weiterrechnen, um auf die
> Anteile nach 20 Jahren zu kommen? Noch mal mit 2
> multiplizieren, geht doch dann nicht, oder?
>
> Bei der c) müsste ich die Übergangsmatrix doch herstellen
> können, wenn ich die b) mit 20 Jahren hinbekommen habe,
> oder?
>
> Und bei der d) habe ich überhaupt keine Idee.
>
> Für Hilfen wäre ich dankbar.
>
> Emy
Wenn A die (richtige) Übergangsmatrix für einen Zeitraum
von 10 Jahren ist, so ist [mm] A^n [/mm] diejenige für eine Zeitspanne
von n*10 Jahren.
Bei d) ist ein Vektor [mm] \vec{x}=\pmat{o\\m\\u} [/mm] mit o+m+u=1
und [mm] A*\vec{x}=\vec{x} [/mm] gesucht.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 17.05.2011 | | Autor: | emy123 |
> > Die Gesellschaft eines bestimmten Landes wird in drei
> > Schichten eingeteilt:
> > Oberschicht 10%,
> > Mittelschicht 70%,
> > Unterschicht 20% der Bevölkerung.
> >
> > Zwischen den Schichten finden Auf- und Abstiegsprozesse
> > stattt, die jeweils für eine Zeitspanne von 10 Jahren
> > durch die nebenstehende Abbildung beschrieben werden
> > können.
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > a) Gib eine Übergangsmatrix an.
> > b) Wie groß sind die jeweiligen Schichtanteile nach 10
> > [20,30] Jahren?
> > c) Gib eine Übergangsmatrix für die Veränderung der
> > Schichtung nach 20 Jahren an.
> > d) Bei welcher Anfangsverteilung der Schichten ergibt
> sich
> > trotz der Auf- und Abstiegsprozesse keine
> > gesamtgesellschaftliche Veränderung der Schichtung?
>
> > Hi,
> > das einzige, was ich an dieser Aufgabe konnte, war leider
> > nur die Teilaufgabe a).
> >
> > O M U
> > O 87 10 3
> > M 10 78 12
> > U 1 15 84
> In der Matrix sollten Übergangswahrscheinlichkeiten
> stehen, keine Prozentwerte. Also alle Werte durch 100
> teilen !
> Da die Grafik (noch) nicht angezeigt wird: ist es
> richtig,
> dass z.B. die Angabe 1 (eigentlich 1%=0.01) für die
> Wahrscheinlichkeit steht, dass ein Angehöriger der
> Unter-
> schicht nach 10 Jahren zur Oberschicht gehört ? - oder
> ist es gerade umgekehrt ?
O M U
O 0,87 0,10 0,03
M 0,10 0,78 0,12
U 0,01 0,15 0,84
Stimmt die Matrix jetzt?
Die Matrix soll bedeuten, dass nach 10 Jahren 87% bei der Oberschicht bleiben, 10% von der Mittelschicht zur Oberschicht wandern, und 1% von der Unterschicht zur Oberschicht gehen (das war jetzt die erste Spalte) usw.
> > Muss ich bei der b) , um die Schichtanteile nach 10 Jahren
> > herauszufinden, einfach alle Anteile mit 2 multiplizieren,
> > da die gegebenen Anteile jeweils für 10 Jahre gelten? Dann
> > würde die Matrix wie folgt aussehen, obwohl das für mich
> > irgendwie keinen Sinn macht:
> >
> > O M U
> > O 74 20 6
> > M 20 56 24
> > U 2 30 68
>
> Das macht wirklich absolut keinen Sinn !
>
> > Wie müsste ich denn jetzt weiterrechnen, um auf die
> > Anteile nach 20 Jahren zu kommen? Noch mal mit 2
> > multiplizieren, geht doch dann nicht, oder?
> >
> > Bei der c) müsste ich die Übergangsmatrix doch herstellen
> > können, wenn ich die b) mit 20 Jahren hinbekommen habe,
> > oder?
> >
> > Und bei der d) habe ich überhaupt keine Idee.
> >
> > Für Hilfen wäre ich dankbar.
> >
> > Emy
>
> Wenn A die (richtige) Übergangsmatrix für einen Zeitraum
> von 10 Jahren ist, so ist [mm]A^n[/mm] diejenige für eine
> Zeitspanne
> von n*10 Jahren.
Gilt dies für die Teilaufgabe b)? Dann hätte ich nämlich eine Frage. Wieso denn [mm] A^n [/mm] (also das "hoch" verstehe ich nicht)? Soll ich dann alle Anteile in der Matrix hoch 2 nehmen?
Wenn ich dann [mm] \vektor{0,87&0,1&0,03\\0,1&0,78&0,12\\0,01&0,15&0,84}^2 [/mm] in meinen Taschenrechner eingebe, (n=2, weil ich ja die Anteile für 20 Jahre herausbekommen will,) kommt dann folgendes heraus:
[mm] \vektor{0,7672&0,1695&0,0633\\0,1662&0,6364&0,1974\\0,0321&0,244&0,7239}
[/mm]
Kann mir jemand erklären, wie man auf das Ergebnis (auch wenn sie falsch sein sollte) kommt? Denn wenn ich z.B. [mm] 0,87^2 [/mm] (das ist der erste Anteil in der ersten Spalte) kommt z.B überhaupt nicht 0,7672 (wie der Taschenrechner sagt) heraus, sondern 0,7569. Und auch [mm] 0,1^2 [/mm] ergibt nicht 0,1662 sondern 0,01.
Okay, und jetzt zu der eigentlichen Aufgabe. Ist die Matrix [mm] \vektor{0,87&0,1&0,03\\0,1&0,78&0,12\\0,01&0,15&0,84}^2 [/mm] überhaupt richtig, um die Anteile für 20 Jahre herauszufinden?
> Bei d) ist ein Vektor [mm]\vec{x}=\pmat{o\\m\\u}[/mm] mit o+m+u=1
> und [mm]A*\vec{x}=\vec{x}[/mm] gesucht.
Soll ich bei der d) diese Gleichung aufstellen?
[mm] \vektor{0,87&0,1&0,03\\0,1&0,78&0,12\\0,01&0,15&0,84}*\vektor{O\\M\\U}=\vektor{O\\M\\U}
[/mm]
Wenn ich das in meinen Taschenrechner eingebe, kommt aber Komisches heraus, was wahrscheinlich heißt, dass ich wieder Fehler eingebaut habe. :(
Es kommt als Ergebnis heraus:
O=M und U=M, dieses muss dann doch heißen, dass O=M=U, was aber bestimmt nicht richtig ist, da ich ja den Anteil haben will.
> LG Al-Chw.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Di 17.05.2011 | | Autor: | Sigrid |
> > > Die Gesellschaft eines bestimmten Landes wird in drei
> > > Schichten eingeteilt:
> > > Oberschicht 10%,
> > > Mittelschicht 70%,
> > > Unterschicht 20% der Bevölkerung.
> > >
> > > Zwischen den Schichten finden Auf- und Abstiegsprozesse
> > > stattt, die jeweils für eine Zeitspanne von 10 Jahren
> > > durch die nebenstehende Abbildung beschrieben werden
> > > können.
> > >
> > > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > >
> > > a) Gib eine Übergangsmatrix an.
> > > b) Wie groß sind die jeweiligen Schichtanteile nach
> 10
> > > [20,30] Jahren?
> > > c) Gib eine Übergangsmatrix für die Veränderung
> der
> > > Schichtung nach 20 Jahren an.
> > > d) Bei welcher Anfangsverteilung der Schichten
> ergibt
> > sich
> > > trotz der Auf- und Abstiegsprozesse keine
> > > gesamtgesellschaftliche Veränderung der Schichtung?
> >
> > > Hi,
> > > das einzige, was ich an dieser Aufgabe konnte, war leider
> > > nur die Teilaufgabe a).
> > >
> > > O M U
> > > O 87 10 3
> > > M 10 78 12
> > > U 1 15 84
>
> > In der Matrix sollten Übergangswahrscheinlichkeiten
> > stehen, keine Prozentwerte. Also alle Werte durch 100
> > teilen !
> > Da die Grafik (noch) nicht angezeigt wird: ist es
> > richtig,
> > dass z.B. die Angabe 1 (eigentlich 1%=0.01) für die
> > Wahrscheinlichkeit steht, dass ein Angehöriger der
> > Unter-
> > schicht nach 10 Jahren zur Oberschicht gehört ? -
> oder
> > ist es gerade umgekehrt ?
>
> O M U
> O 0,87 0,10 0,03
> M 0,10 0,78 0,12
> U 0,01 0,15 0,84
>
> Stimmt die Matrix jetzt?
> Die Matrix soll bedeuten, dass nach 10 Jahren 87% bei der
> Oberschicht bleiben, 10% von der Mittelschicht zur
> Oberschicht wandern, und 1% von der Unterschicht zur
> Oberschicht gehen (das war jetzt die erste Spalte) usw.
>
>
> > > Muss ich bei der b) , um die Schichtanteile nach 10 Jahren
> > > herauszufinden, einfach alle Anteile mit 2 multiplizieren,
> > > da die gegebenen Anteile jeweils für 10 Jahre gelten? Dann
> > > würde die Matrix wie folgt aussehen, obwohl das für mich
> > > irgendwie keinen Sinn macht:
> > >
> > > O M U
> > > O 74 20 6
> > > M 20 56 24
> > > U 2 30 68
> >
> > Das macht wirklich absolut keinen Sinn !
> >
> > > Wie müsste ich denn jetzt weiterrechnen, um auf die
> > > Anteile nach 20 Jahren zu kommen? Noch mal mit 2
> > > multiplizieren, geht doch dann nicht, oder?
> > >
> > > Bei der c) müsste ich die Übergangsmatrix doch herstellen
> > > können, wenn ich die b) mit 20 Jahren hinbekommen habe,
> > > oder?
> > >
> > > Und bei der d) habe ich überhaupt keine Idee.
> > >
> > > Für Hilfen wäre ich dankbar.
> > >
> > > Emy
> >
> > Wenn A die (richtige) Übergangsmatrix für einen Zeitraum
> > von 10 Jahren ist, so ist [mm]A^n[/mm] diejenige für eine
> > Zeitspanne
> > von n*10 Jahren.
>
> Gilt dies für die Teilaufgabe b)? Dann hätte ich nämlich
> eine Frage. Wieso denn [mm]A^n[/mm] (also das "hoch" verstehe ich
> nicht)? Soll ich dann alle Anteile in der Matrix hoch 2
> nehmen?
>
> Wenn ich dann
> [mm]\vektor{0,87&0,1&0,03\\0,1&0,78&0,12\\0,01&0,15&0,84}^2[/mm] in
> meinen Taschenrechner eingebe, (n=2, weil ich ja die
> Anteile für 20 Jahre herausbekommen will,) kommt dann
> folgendes heraus:
>
> [mm]\vektor{0,7672&0,1695&0,0633\\0,1662&0,6364&0,1974\\0,0321&0,244&0,7239}[/mm]
> Kann mir jemand erklären, wie man auf das Ergebnis (auch
> wenn sie falsch sein sollte) kommt? Denn wenn ich z.B.
> [mm]0,87^2[/mm] (das ist der erste Anteil in der ersten Spalte)
> kommt z.B überhaupt nicht 0,7672 (wie der Taschenrechner
> sagt) heraus, sondern 0,7569. Und auch [mm]0,1^2[/mm] ergibt nicht
> 0,1662 sondern 0,01.
A´2 beseutet A*A, d.h. Du musst die Matrizenmultiplikation anwenden. Du weißt, wie das geht? Aufkeinen Fall darfst Du nur die Einzelwerte der Matrix quadrieren.
>
> Okay, und jetzt zu der eigentlichen Aufgabe. Ist die Matrix
> [mm]\vektor{0,87&0,1&0,03\\0,1&0,78&0,12\\0,01&0,15&0,84}^2[/mm]
> überhaupt richtig, um die Anteile für 20 Jahre
> herauszufinden?
Das habe ich jetzt nicht überprüft, aber wenn die Eingabe richtig war, sollte auch das Ergebnis stimmen.
>
> > Bei d) ist ein Vektor [mm]\vec{x}=\pmat{o\\m\\u}[/mm] mit o+m+u=1
> > und [mm]A*\vec{x}=\vec{x}[/mm] gesucht.
>
> Soll ich bei der d) diese Gleichung aufstellen?
>
> [mm]\vektor{0,87&0,1&0,03\\0,1&0,78&0,12\\0,01&0,15&0,84}*\vektor{O\\M\\U}=\vektor{O\\M\\U}[/mm]
> Wenn ich das in meinen Taschenrechner eingebe, kommt aber
> Komisches heraus, was wahrscheinlich heißt, dass ich
> wieder Fehler eingebaut habe. :(
> Es kommt als Ergebnis heraus:
> O=M und U=M, dieses muss dann doch heißen, dass O=M=U,
> was aber bestimmt nicht richtig ist, da ich ja den Anteil
> haben will.
Auch hier habe ich Deine Rechnung nicht überprüft, aber Dein Ergebnis bedeutet, dass am Anfang eine Gleichverteilung vorliegen muss, d.h. jede Schicht umfasst ein Drittel der Bevölkerung.
Gruß Sigrid
>
> > LG Al-Chw.
> >
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Di 17.05.2011 | | Autor: | emy123 |
> > > > Die Gesellschaft eines bestimmten Landes wird in drei
> > > > Schichten eingeteilt:
> > > > Oberschicht 10%,
> > > > Mittelschicht 70%,
> > > > Unterschicht 20% der Bevölkerung.
> > > >
> > > > Zwischen den Schichten finden Auf- und Abstiegsprozesse
> > > > stattt, die jeweils für eine Zeitspanne von 10 Jahren
> > > > durch die nebenstehende Abbildung beschrieben werden
> > > > können.
> > > >
> > > > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > > >
> > > > a) Gib eine Übergangsmatrix an.
> > > > b) Wie groß sind die jeweiligen Schichtanteile
> nach
> > 10
> > > > [20,30] Jahren?
> > > > c) Gib eine Übergangsmatrix für die
> Veränderung
> > der
> > > > Schichtung nach 20 Jahren an.
Ist die Übergangsmatrix für die Schichtung nach 20 Jahren diejenige, die ich dann bereits bei der b) für n=2 ausgerechnet habe?
> > > > d) Bei welcher Anfangsverteilung der Schichten
> > ergibt
> > > sich
> > > > trotz der Auf- und Abstiegsprozesse keine
> > > > gesamtgesellschaftliche Veränderung der Schichtung?
> > >
> > > > Hi,
> > > > das einzige, was ich an dieser Aufgabe konnte, war leider
> > > > nur die Teilaufgabe a).
> > > >
> > > > O M U
> > > > O 87 10 3
> > > > M 10 78 12
> > > > U 1 15 84
> >
> > > In der Matrix sollten Übergangswahrscheinlichkeiten
> > > stehen, keine Prozentwerte. Also alle Werte durch
> 100
> > > teilen !
> > > Da die Grafik (noch) nicht angezeigt wird: ist es
> > > richtig,
> > > dass z.B. die Angabe 1 (eigentlich 1%=0.01) für
> die
> > > Wahrscheinlichkeit steht, dass ein Angehöriger der
> > > Unter-
> > > schicht nach 10 Jahren zur Oberschicht gehört ? -
> > oder
> > > ist es gerade umgekehrt ?
> >
> > O M U
> > O 0,87 0,10 0,03
> > M 0,10 0,78 0,12
> > U 0,01 0,15 0,84
> >
> > Stimmt die Matrix jetzt?
> > Die Matrix soll bedeuten, dass nach 10 Jahren 87% bei der
> > Oberschicht bleiben, 10% von der Mittelschicht zur
> > Oberschicht wandern, und 1% von der Unterschicht zur
> > Oberschicht gehen (das war jetzt die erste Spalte) usw.
> >
> > >
> > > Wenn A die (richtige) Übergangsmatrix für einen Zeitraum
> > > von 10 Jahren ist, so ist [mm]A^n[/mm] diejenige für eine
> > > Zeitspanne
> > > von n*10 Jahren.
> >
> > Gilt dies für die Teilaufgabe b)? Dann hätte ich nämlich
> > eine Frage. Wieso denn [mm]A^n[/mm] (also das "hoch" verstehe ich
> > nicht)? Soll ich dann alle Anteile in der Matrix hoch 2
> > nehmen?
Könnte mir jemand diese Frage noch beantworten, wie man auf [mm] A^n [/mm] kommt? Ich dachte anfangs nämlich, dass man einfach nur mit 2 multiplizieren muss, um die Schichtung nach 20 Jahren zu berechnen.
> > Wenn ich dann
> > [mm]\vektor{0,87&0,1&0,03\\0,1&0,78&0,12\\0,01&0,15&0,84}^2[/mm] in
> > meinen Taschenrechner eingebe, (n=2, weil ich ja die
> > Anteile für 20 Jahre herausbekommen will,) kommt dann
> > folgendes heraus:
> >
> >
> [mm]\vektor{0,7672&0,1695&0,0633\\0,1662&0,6364&0,1974\\0,0321&0,244&0,7239}[/mm]
> > Kann mir jemand erklären, wie man auf das Ergebnis
> (auch
> > wenn sie falsch sein sollte) kommt? Denn wenn ich z.B.
> > [mm]0,87^2[/mm] (das ist der erste Anteil in der ersten Spalte)
> > kommt z.B überhaupt nicht 0,7672 (wie der Taschenrechner
> > sagt) heraus, sondern 0,7569. Und auch [mm]0,1^2[/mm] ergibt nicht
> > 0,1662 sondern 0,01.
>
> A´2 beseutet A*A, d.h. Du musst die
> Matrizenmultiplikation anwenden. Du weißt, wie das geht?
> Aufkeinen Fall darfst Du nur die Einzelwerte der Matrix
> quadrieren.
Ja, stimmt. Hatte ich vergessen.
> >
> > Okay, und jetzt zu der eigentlichen Aufgabe. Ist die Matrix
> > [mm]\vektor{0,87&0,1&0,03\\0,1&0,78&0,12\\0,01&0,15&0,84}^2[/mm]
> > überhaupt richtig, um die Anteile für 20 Jahre
> > herauszufinden?
> Das habe ich jetzt nicht überprüft, aber wenn die
> Eingabe richtig war, sollte auch das Ergebnis stimmen.
>
Diese Matrix ist doch das Ergebnis für die Teilaufgabe b) oder? (Das, was ich oben schon gefragt habe.)
> >
> > > Bei d) ist ein Vektor [mm]\vec{x}=\pmat{o\\m\\u}[/mm] mit o+m+u=1
> > > und [mm]A*\vec{x}=\vec{x}[/mm] gesucht.
> >
> > Soll ich bei der d) diese Gleichung aufstellen?
> >
> >
> [mm]\vektor{0,87&0,1&0,03\\0,1&0,78&0,12\\0,01&0,15&0,84}*\vektor{O\\M\\U}=\vektor{O\\M\\U}[/mm]
> > Wenn ich das in meinen Taschenrechner eingebe, kommt
> aber
> > Komisches heraus, was wahrscheinlich heißt, dass ich
> > wieder Fehler eingebaut habe. :(
> > Es kommt als Ergebnis heraus:
> > O=M und U=M, dieses muss dann doch heißen, dass O=M=U,
> > was aber bestimmt nicht richtig ist, da ich ja den Anteil
> > haben will.
>
> Auch hier habe ich Deine Rechnung nicht überprüft, aber
> Dein Ergebnis bedeutet, dass am Anfang eine
> Gleichverteilung vorliegen muss, d.h. jede Schicht umfasst
> ein Drittel der Bevölkerung.
>
> Gruß Sigrid
> >
> > > LG Al-Chw.
Vielen Dank für eure Antworten!
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Hallo,
> übergangsmatrix für 20 Jahre
Du hast die übergangsmatrix für 10 Jahre, das ist A. die für 20 Jahre ist [mm] $A^{2}$ [/mm] und die für 30 Jahre [mm] $A^{3}$.
[/mm]
> mit 2 multiplizieren
Du schreibst multiplizieren und potenzierst die einzelnen Einträge der Matrix A. Es ist beides falsch. Um [mm] $A^{n}$ [/mm] zu berechnen, die Matrix diagonalisieren. Dann kann man die einzelnen Einträge potenzieren.
Hast du das gemacht, löst du c) indem du schaust wonach die einzelnen Einträge der diagonalisierten Matrix konvergieren.
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Mi 18.05.2011 | | Autor: | emy123 |
> > > Wenn A die (richtige) Übergangsmatrix für einen Zeitraum
> > > von 10 Jahren ist, so ist $ [mm] A^n [/mm] $ diejenige für eine
> > > Zeitspanne
> > > von n*10 Jahren.
> >
> > Gilt dies für die Teilaufgabe b)? Dann hätte ich nämlich
> > eine Frage. Wieso denn $ [mm] A^n [/mm] $ (also das "hoch" verstehe ich
> > nicht)? Soll ich dann alle Anteile in der Matrix hoch 2
> > nehmen?
Ich habe die Frage schon mehrfach gestellt, aber irgendwie verstehe ich die Antworten noch nicht wirklich. Wieso kommt man auf [mm] A^2 [/mm] (auf das "hoch") und nicht auf A*2, um die Schichtung in zwanzig Jahren zu bekommen?
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> Ich habe die Frage schon mehrfach gestellt, aber irgendwie
> verstehe ich die Antworten noch nicht wirklich. Wieso kommt
> man auf [mm]A^2[/mm] (auf das "hoch") und nicht auf A*2, um die
> Schichtung in zwanzig Jahren zu bekommen?
Hallo,
nehmen wir an, heute hätten wir in O 10 Mio Menschen, in M 55 Mio Menschen und in U 15 Mio Menschen.
Unser Startvektor wäre [mm] \vec{x}=\vektor{10\\55\\15}.
[/mm]
Um die Schichtung nach 10 Jahren zu erfahren, rechnen wir
[mm] A*\vec{x}=A*\vektor{10\\55\\15}.
[/mm]
Das Ergebnis ist ein Vektor, ich habe jetzt keine Lust ihn auszurechnen. Mein TR kann das nämlich nicht.
So. Und nun wollen wir wissen, wie die Schichtung nach weiteren 10 Jahren aussieht. Dazu lassen wir auf das 10-Jahresergebnis erneut die Matrix los:
[mm] A*[\green{A*\vektor{10\\55\\15}}]
[/mm]
= [mm] A*A*\vektor{10\\55\\15}=A^2*\vektor{10\\55\\15}.
[/mm]
Hier haben wir nun die Schichtung nach 20 Jahren beim Startvektor [mm] \vektor{10\\55\\15}.
[/mm]
Das Ergebnis nach 39 Jahren bekommen ich, wenn ich auf den 20-Jahres-Vektor wieder die Matrix A loslasse:
[mm] A*[\green{A^2*\vektor{10\\55\\15}}]=A^3*\vektor{10\\55\\15}
[/mm]
usw.
[mm] A^2, A^3, A^4 [/mm] berechnet man mit Matrixmultiplikation.
Im Prinzip ist der Gedanke genau wie beim Zinseszins:
ich habe 100 Euro und lege sie bei 3% p.a. auf ein Sparbuch, wo sie 25 Jahre liegenbleiben.
Wieviel Geld habe ich nach 25 Jahren auf dem Sparbuch?
Lösung: das Geld vermehrt sich jedes Jahr mit dem Faktor q=1.03.
Nach einem Jahr habe ich q*100=1.03*100 Euro.
Dieses Geld wird im Folgejahr wieder verzinst, ich habe [mm] q*(q*100)=q^2*100= 1.03^2*100 [/mm] Euro
usw.
Nach 25 Jahren habe ich q^25*100=1.03^25 Euro.
Bloß bei diesem Beispiel hat man es mit dem Potenzieren einer Zahl zu tun, in Deinem Beispiel muß eine Matrix potenziert werden, was eine wiederholte Matrixmultiplikation ist.
Gruß v. Angela
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> > > Die Gesellschaft eines bestimmten Landes wird in drei
> > > Schichten eingeteilt:
> > > Oberschicht 10%,
> > > Mittelschicht 70%,
> > > Unterschicht 20% der Bevölkerung.
> > >
> > > Zwischen den Schichten finden Auf- und Abstiegsprozesse
> > > stattt, die jeweils für eine Zeitspanne von 10 Jahren
> > > durch die nebenstehende Abbildung beschrieben werden
> > > können.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun hat's ja mit dem Bild doch noch geklappt.
> O M U
> O 0,87 0,10 0,03
> M 0,10 0,78 0,12
> U 0,01 0,15 0,84
>
> Stimmt die Matrix jetzt?
Nein, damit es richtig kommt, müsstest du die transponierte
(an der Hauptdiagonalen gespiegelte) Matrix nehmen:
$\ A\ =\ [mm] \pmat{0.87&0.10&0.01\\0.10&0.78&0.15\\0.03&0.12&0.84}$
[/mm]
Hast du dich über die Multiplikation Matrix [mm] \times [/mm] Vektor sowie
Matrix [mm] \times [/mm] Matrix mittlerweile schlau gemacht ?
Zwei Beispiele:
$\ [mm] A*\pmat{0.10\\0.70\\0.20}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0.87&0.10&0.01\\0.10&0.78&0.15\\0.03&0.12&0.84}*\pmat{0.10\\0.70\\0.20}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0.159\\0.586\\0.255}$
[/mm]
$\ [mm] A^2\ [/mm] =\ A*A\ =\ [mm] \pmat{0.87&0.10&0.01\\0.10&0.78&0.15\\0.03&0.12&0.84}*\pmat{0.87&0.10&0.01\\0.10&0.78&0.15\\0.03&0.12&0.84}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0.7672&0.1662&0.0321\\0.1695&0.6364&0.2440\\0.0633&0.1974&0.7239}$ [/mm]
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