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Ich habe eine gegebene Funktion in eine Potenzreihe oder Laurent-Reihe entwickelt. Nun möchte ich aber wissen, ob meine Potenz-/Laurent-Reihe meine Funktion auch tatsächlich darstellt. Ich kann natürlich den Konvergenzradius bestimmen, aber der ist ja eher ein Indiz als ein Beweis.
Gibt es sonst eine Möglichkeit, (ohne großen Rechenaufwand) zu überprüfen, ob meine Potenz-/Laurent-Reihe meine Funktion auch tatsächlich darstellt?
Ein Beispiel wäre:
[mm] f(z)=e^z [/mm] an der Stellt [mm] z_0=i\pi
[/mm]
als Potenzreihe habe ich bekommen: [mm] \sum_{n=0}^{unendlich}\frac{-1}{n!}(z-\pi i)^n
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Mo 31.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe eine gegebene Funktion in eine Potenzreihe oder
> Laurent-Reihe entwickelt. Nun möchte ich aber wissen, ob
> meine Potenz-/Laurent-Reihe meine Funktion auch
> tatsächlich darstellt. Ich kann natürlich den
> Konvergenzradius bestimmen, aber der ist ja eher ein Indiz
> als ein Beweis.
> Gibt es sonst eine Möglichkeit, (ohne großen
> Rechenaufwand) zu überprüfen, ob meine
> Potenz-/Laurent-Reihe meine Funktion auch tatsächlich
> darstellt?
Natürlich ! Dafür hast Du Sätze in der Vorlesung "Funktionentheorie " kennengelernt
Beispiel: Sei f die Summenfunktion eine Potenzreihe um 0 mit Konvergenzradius r>0
Ist nun [mm] $|z_0|
$f(z) = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n [/mm] $ für [mm] $|z-z_0|
(wobei [mm] $r-|z_0|:= \infty$, [/mm] falls r = [mm] \infty
[/mm]
>
>
> Ein Beispiel wäre:
>
> [mm]f(z)=e^z[/mm] an der Stellt [mm]z_0=i\pi[/mm]
> als Potenzreihe habe ich bekommen:
> [mm]\sum_{n=0}^{unendlich}\frac{-1}{n!}(z-\pi i)^n[/mm]
Richtig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Balendilin |
Super, danke! Allerdings ist das bei Laurent-Reihen ja deutlich schwieriger. Ich kann ja ohne größeren Rechenaufwand diese ganzen Kurvenintegrale, die ich als Koeffizienten habe, gar nicht ausrechnen. Gibt es dort einen Trick?
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